矩阵相似与特征多项式相同的等价条件

本文讨论了矩阵相似与特征多项式相同的等价条件及其相关结构,并指出湖南省某次线性代数自考题中一道命题的错误。

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第 2卷第 2期 2 20 0 2年 6月

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矩阵相似与特征多项式相同的等价条件。何维明赵人可(沙交通学院信息与计算科学系，长长沙， 1 0 6 4 0 7)摘要本文讨论了矩阵相似与特征多项式相同的等价条件及其相关结果，指出湖南省某次线性代数自并考题中一道命题的错误.

关键词

相似矩阵对角阵

特征多项式

T HE E QUI VAL ENT CoNDI oNS F AT X TI oR M RISM I I LA RI TY ND A TH EI CH A RACTERI R STI C

P oL YNoM I S E AL QUALI Y THe W e mi Zha n i ng o Re ke( ar m e nf m a in a m p i g i c De t ntofI or ta nd Ca utn Scen e,Cha ngs a c h om m u c i ns iut niatons I tt e.Cha sh 41 ng a, 007 6)

A b t a I hi a rw e dic s he e ui alntc s r ct n t s p pe s u s t q v e ondii orm at i i ia iy an herc r c e itc p y tons f rx s m l rt d t i ha a t rs i ol.

n mi l e u l y a d c r e p n i g r s ls o a s q a i n o r s o d n e u t .An o n u s a e o r p s t n o n ie ra g b a t d we p i t o t mit k f a p o o i o fo e l a l e r i ns f t ughte am i ton i un el— a x na i n H an. Ke ywor sm iarm at ies d a nalm at i ds i l rc i go rx c r c e itc p y ha a t rs i ol nom il a

众所周知，矩阵相似，它们的特征多项式相同，两则反之则不然，两矩阵的特征多项式相即同，矩阵不一定相似 .两然而，当满足一定条件

时，阵相似与特征多项式相同是互为等价的.矩 本文讨论了矩阵相似与特征多项式相同的等价条件，指出湖南省某次线性代数自考试题中并一

道命题的错误 . 定理 1若州j阵 A与 B都可对化， A与 B相似的充分必要条件是它们的特征多项 介方则

式相同.

证明条件的必要性可参见任一种线性代数教材，只证充分性 . A,因 B都可对角化且它们的特征多项式相同，因而它们有完全相同的特征值，故与可相似同一对角阵，由矩阵相似的传递性知，与 B相似. A 定理 2若”阶方阵 A可对角化，它的”个特征值均为。充分必要条件是 则的A= E

证明充分性显然，证必要性 .下 郭忠教授推荐收稿日期：0 1年 5月 1 20 2日