数学分析期末考试题1、2(第二份有答案)

第三学期数学分析考试题

一、 判断题（每小题2分，共20分）

1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集． （ ）

2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等． （ ） 3.连续函数的全增量等于偏增量之和． （ ） 4.f(x,y)

xy在原点不可微． （ ）

5.若fxy(x,y)与fyx(x,y)都存在，则fxy(x,y) fyx(x,y)． （ ） 6.

ysinxyx(1 y)

2

1

dy在(0,1)内不一致收敛． （ ）

7.平面图形都是可求面积的． （ ） 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （ ）

9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”． （ ） 10.二重积分定义中分割T的细度不能用max{ i}来代替． （ ）

1 i n

二、 填空题（每小题3分，共15分）

1.设z exysin(x y)，则其全微分dz ． 2.设f(x,y,z) xy2 yz3，则f在点P0(2, 1,1)处的梯度grad(P0) 3.设L为沿抛物线y 2x2,从O(0,0)到B(1,2)的一段，则 xdy ydx ．

L

4.边长为a密度为b的立方体关于其任一棱的转动惯量等于． 5.曲面3x y z 27在点（3,1,1）处的法线方程为 三、计算题（每小题5分，共20分） 1．求极限

(x,y) (0,0)2

2

2

lim(x y)

22xy

．

z

2． 设z z(x,y)是由方程x y z e所确定的隐函数，求zxy． 3．设A [0,1] [0,1]，求I

(1 x

A

ydxdy

2

y)

232

.

4．计算抛物线(x y) ax

2

(a 0)与x轴所围的面积.

四、(10分)密度 (x,y,z)

x y的物体V由曲面2z x y与z 2所围

2

2

22

成，求该物体关于z轴的转动惯量． 五、（10分）求第二类曲面积分

S

xdydz ydzdx zdxdy

222

其中S是球面(x a)2 (y b)2 (z c)2 R2并取外侧为正向． 六、（第1小题8分，第2小题7分，共15分）．

1. 求曲线x2 y2 z2 6，z x2 y2在点（1，1，2）处的切线方程和法平面方程． 2．证明：

11 x

4

dx

22

．

1x x七、（10分）应用积分号下的积分法，求积分 cos(ln)dx

0xlnx

1

ba

(b a 0)．

第三数学分析参考答案及评分标准

一、 判断题（每小题2分，共20分）

1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集． （

） ）

√ ）

2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等． （ √ ） 3.连续函数的全增量等于偏增量之和． （ 4.f(x,y)

xy在原点不可微． （

5.若fxy(x,y)与fyx(x,y)都存在，则fxy(x,y) fyx(x,y)． （ 6.

）

√ ）

ysinxyx(1 y)

2

1

dy在(0,1)内不一致收敛． （

7.平面图形都是可求面积的． （

） ）

8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （ √ ）

9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”． （

1 i n

10.二重积分定义中分割T的细度不能用max{ i}来代替． （ √ ） 二、 填空题（每小题3分，共15分） 1.设z e

xy

xy

sin(x y)，则其全微分dz

xy

e[ysin(x y) cos(x y)]dx e[xsin(x y) cos(x y)]dy．

2.设f(x,y,z) xy

2

yz，则f在点P0(2, 1,1)处的梯度grad(P0)

3

2

3.设L为沿抛物线y 2x,从O(0,0)到B(1,2)的一段，则 xdy ydx

L

4.边长为a密度为b的立方体关于其任一棱的转动惯量等于

23

ab．

5

5.曲面3x y z 27在点（3,1,1）处的法线方程为三、计算题（每小题5分，共20分） 1．求极限

(x,y) (0,0)

222

x 39

y 11

z 1 1

．

lim(x y)

22xy

．

解：先求其对数的极限由于xyln(x y)所以

lim

(x,y) (0,0)

(x,y) (0,0)

limxyln(x y)．

22

22

rlnr 0

2

2

22

(令x y r,r 0)，

lim

(x y)

2

2

xy

222

xyln(x y)=0，故=1．

(x,y) (0,0)

2． 设z z(x,y)是由方程x y z ez所确定的隐函数，求zxy． 解：方程x y z ez两边对x，y求偏导数，得 1

z x

z

e

z x

1

z y

e

z

z y

解得

z x

z y

1e 1

z

zxy

(z) z 。 2z3 ye 1 y(e 1)(e 1)

1e

z

ze

z

3．设A [0,1] [0,1]，求I

(1 x

A

ydxdy

2

y)

23.

解：先对y后对x积分，得到

I

1

dx

1

ydy(1 x y)

2

223

1

(

1x 1

2

1x 2

2

)dx ln

2 1

23

。

4．计算抛物线(x y) ax(a 0)与x轴所围的面积.

解：曲线ACO由函数y

ax x,x [0,a]表示，ONA为直线y 0，于是

SD

xdy

ONA

xdy

ACO

xdy

a

x(

a2ax

1)dx

a

(

ax2

x)dx

16

a。

2

四、(10分)密度 (x,y,z) 2222

x y的物体V由曲面2z x y与z 2所围成，

求该物体关于z轴的转动惯量．

解：根据物体关于坐标轴的转动惯量的定义，得

Jz

V

(x y) (x,y,z)dV

22

作柱面坐标变换

, x rcos

T: y rsin ,

z z, 有J(r, ,z) r.

V在xy坐标面上的投影为

2

2

D {(x,y)x y 4}， 则V在T下的原象为

V {(r, ,z)

r

2

2

2

z 2,0 r 2,0 2 }

于是有 Jz

2

d drr2rdz 2

2

2

4

2

r(2

4

r

2

2

)dr

25635

。

五、（10分）求第二类曲面积分

S2

xdydz ydzdx zdxdy

2

2

2

222

其中S是球面(x a) (y b) (z c) R并取外侧为正向．

解：由轮换对称性知，只须计算 zdxdy，

S

2

由z c R (x a) (y b), 利用极坐标变换可得：

222

S

zdxdy

2

2