第3章 线性控制系统的能控性和能观性

现 代 控 制 理 论第3章 控制系统的能控性和能观测性主讲：陈宁

第二章 控制系统的能控性和能观测性 3.1 引言

3.2 能控性及其判据 3.3 能观测性及其判据 3.4 离散系统的能控性和能观测性

3.5 对偶原理 3.6 能控标准形和能观测标准形 3.7 能控性、能观测性与传递函数的关系

3.8 系统的结构分解 3.9 实现问题

第三章 控制系统的能控性和能观测性 3-1

引 言 m2 l

小车摆杆系统

x r r

u(t )m1

r

r0

3-2能控性及其判据一：能控性概念 定义： 线性定常系统(A,B,C),对任意给定的一个初始状态x(t ),如果在t > 0 1 t0的有限时间区间[t0,t1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t),使 x(t1)=0,则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。

可见系统的能控性反映了控制矢量u(t)对系统状态的控制性质,与系统 的内部结构和参数有关。x2 (0)

例如

x2 1s

x1 (0)

x2

x1

1 s

x1

y

u

2

3-2能控性及其判据一：能控性概念 定义： 线性定常系统(A,B,C),对任意给定的一个初始状态x(t ),如果在t > 0 1 t0的有限时间区间[t0,t1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t),使 x(t1)=0,则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。 定义：设线性时变系统状态方程为 x A(t ) x B(t )u

对任意给定的一个初始状态x(t0),如果在t1> t0的有限时间区间[t0,t1]内， 存在一个无约束的控制矢量u(t0,t1),使x(t1)=0,则称系统在t0时刻是状 态完全能控的，简称系统是能控的。

二：能控性判据1 线性时变系统 定理一：线性时变系统 x A(t ) x B(t )在t0时刻是状态完全能控的充 u

分必要条件是下列格兰姆矩阵

W (t0 , t1 ) (t0 , ) B( ) BT ( ) T (t0 , )d t0

t1

为非奇异矩阵，式中 (t , t0 ) 为状态转移矩阵 证明 充分性 W (t0 , t1 ) 为非奇异时，系统能控u (t ) BT (t ) T (t0 , t )W 1 (t0 , t1 ) x(t0 )x(t1 ) (t1 , t0 ) x(t0 ) (t1 , ) B( )u( )d t0 t1

(t1 , t0 ) x(t0 ) (t1 , ) B( ) BT ( ) T (t0 , )W 1 (t0 , t1 ) x(t0 ) d t0

t1

(t1 , t0 ) x(t0 ) (t1 , t0 ) (t0 , ) B( ) BT ( ) T (t0 , )W 1 (t0 , t1 ) x(t0 ) d t0

t1

(t1 , t0 ) x(t0 ) (t1 , t0 )W (t0 , t1 )W 1 (t0 , t1 ) x(t0 ) 0

说明系统是能控的

二：能控性判据1 线性时变系统 定理一：线性时变系统 x A(t ) x B(t )在t0时刻是状态完全能控的充 u

分必要条件是下列格兰姆矩阵

W (t0 , t1 ) (t0 , ) B( ) BT ( ) T (t0 , )d t0

t1

为非奇异矩阵，式中 (t , t0 ) 为状态转移矩阵 必

要性 反证法，若 W (t0 , t1 ) 是奇异的，且系统能控，看能否导出矛盾结果。 由于 W (t0 , t1 ) 是奇异的，故必存在非零的行向量α,使

W (t0 , t1 ) 0t1

W (t0 , t1 ) T 0

(t0 , ) B( ) BT ( ) T (t0 , )d T 0t0

t1

t0

(t0 , ) B( ) BT ( ) T (t0 , ) T d 0

BT (t ) T (t0 , t ) T 0

二：能控性判据1 线性时变系统 定理一：线性时变系统 x A(t ) x B(t )在t0时刻是状态完全能控的充 u

分必要条件是下列格兰姆矩阵

W (t0 , t1 ) (t0 , ) B( ) BT ( ) T (t0 , )d t0

t1

为非奇异矩阵，式中 (t , t0 ) 为状态转移矩阵 必要性 由于系统能控 x(t1 ) (t1 , t0 ) x(t0 ) (t1 , ) B( )u( )d 0t0 t1

x(t0 ) (t1 , t0 ) (t1 , ) B( )u( )d (t0 , ) B( )u( )d 1 t0 t0

t1

t1

取系统初始状态 x(t0 ) T 0 t1 (t , ) B( )u ( ) d x(t ) x (t0 ) x(t0 ) 0 0 t0 T T

uT ( ) BT ( ) T (t0 , ) T d 0t0

t1

x(t0 ) 0

BT (t ) T (t0 , t ) T 0

定理二：线性时变系统在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是 (t0 , t ) B(t ) 的行向量在[t0,t1]上线性无关

证明:

充分性

(t0 , t ) B(t ) 的行向量在[t0,t1]上线性无关→系统能控

或系统不能控 → (t0 , t ) B(t ) 的行向量在[t0,t1]上线性相关 由于系统不能控W (t0 , t1 ) 是奇异的，故必存在非零的行向量α,使

W (t0 , t1 ) 0 W (t0 , t1 ) T 0

(t0 , ) B( ) BT ( ) T (t0 , )d T 0t0

t1

t1

t0

(t0 , ) B( ) BT ( ) T (t0 , ) T d 0 (t0 , t ) B(t ) 0

定理二：线性时变系统在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是 (t0 , t ) B(t ) 的行向量在[t0,t1]上线性无关

证明:

必要性

系统能控 → (t0 , t ) B(t ) 的行向量在[t0,t1]上线性无关

或 (t0 , t ) B(t ) 的行向量在[t0,t1]上线性相关→系统不能控由于 (t0 , t ) B(t ) 的行向量线性相关，故必存在非零的行向量α,使

(t0 , t ) B(t ) 0

t1

t0

(t0 , ) B( ) BT ( ) T (t0 , )d 0 W (t0 , t1 ) 0

W (t0 , t1 ) 是奇异的，故系统不能控

定理三：如果线性时变系统的A(t)和B(t)是n-1阶连续可微的，若存在一个有限的t1>t0,使得rank[ M 0 (t1 ), M 1 (t1 ), M n 1 (t1 )] n

则系统在t0是能控的。其中 本定理是充分条件 证明:

M 0 (t ) B (t ) M k 1 (t ) A(t ) M k (t ) d M k (t ) dt

(t0 , t1 ) B (t1 ) (t , 1 ) B (1 ) (0t ,1t ) B (t ) t 0 t 1 t1 t1 (t0 , t1 ) A(t1 ) B (t1 ) (

t0 , t1 ) B (t1 ) (t0 , t1 ) M 1 (t1 )

n 1 (t0, t1) B(t1) t 0, t1) M ( n 1 t1n1 1

(t ) )

(t0 , t1 )[ M0 (t ), M (1 ), M n1 1 1 t

n 1 (t )] (t 1 t ) B1 t ), ( 0(t 1, t ) B (t ) n 1 (t1 , t ) B (t 1 0 , 1 0 1 t1 t1

由于

rank[ M 0 (t1 ), M 1 (t1 ), M n 1 (t1 )] n

n 1 故 rank (t0 , t1 ) B (t1 ), (t0 , t1 ) B(t1 ) n 1 (t0 , t1 ) B(t1 ) n t1 t1 下面求证 n 1 rank (t0 , t1 ) B (t1 ), (t0 , t1 ) B(t1 ) n 1 (t0 , t1 ) B(t1 ) n →系统能控 t1 t1 n 1 rank (t0 , t1 ) B (t1 ), (t0 , t1 ) B(t1 ) n 1 (t0 , t1 ) B(t1 ) n 或系统不能控→ t1 t1

由于系统不能控,存在非零的行向量α,使

(t0 , t ) B(t ) 0

n 1 (t0 , t ) B(t ) 0 n 1 (t0 , t ) B(t ) 0 t t

n 1 (t0 , t ) B (t ), (t0 , t ) B (t ) n 1 (t0 , t ) B(t ) 0 t t n 1 (t0 , t1 )[ M 0 (t1 ), M 1 (t1 ), M n 1 (t1 )] (t0 , t1 ) B (t1 ), (t0 , t1 ) B (t1 ) n 1 (t0 , t1 ) B (t1 ) t1 t1

由于

rank[ M 0 (t1 …… 此处隐藏：3324字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……