人教A版必修四2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》ppt

第二章

平面向量

2.4 平面向量的数量积 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

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1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量 数量积的坐标运算. 2.掌握向量垂直的坐标表示、夹角的坐标表示及平面 两点间的距离公式.栏 目 链 接

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基 础 梳 理

一、平面向量数量积的坐标表示

已知两个非零向量 a=(x1,y1), b=(x2,y2), a· bx1x2+y1y2 坐标形式 ).这就是说，(文字语言 )两 =__________( 它们对应坐标的乘积的和 个向量的数量积等于____________________ .栏 目 链 接

练习 1:a=(2,3),b= (- 2,4),则 (a+b)· (a - b ) =______.答案：-7

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思 考 应 用1.平面向量数量积用坐标表示的基础和意义是怎样的？解析：数量积的坐标表示的基础是：向量的坐标表示和数量积的 运算律.设 i,j 分别是和 x 轴、y 轴同向的单位向量，则 i· i=1,j· j =1,i· j=j· i=0,设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b=(x1i+y1j)· (x2i +y2j) =x1x2i2+x1y2i· j+x2y1i· j+y1y2j2 =x1x2+y1y2. 数量积坐标表示的意义在于能使数量积的计算代数化， 为用向量 来处理几何问题，特别是解析几何问题提供了便利条件.栏 目 链 接

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基 础 梳 理

二、平面向量的模、夹角的坐标表示1.平面内两点间的距离公式.

x2+y2 或|a|________. x +y (1)设 a=(x,y),则|a|2=________2 2

(2) 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为2 2 → x - x + y - y 1 2 1 2 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB =___________________( 平面内

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两点间的距离公式). 2.向量垂直的判定.

x1x2+y1y2=0 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b ________.

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基 础 梳 理

3.两向量夹角的余弦(0≤θ≤π). x1x2+y1y2 a· b cos θ=________ |a||b| =________. x21+y21 x22+y22 练习 2:已知 a= 与 b 的夹角是π 答案： 4

,b= .

,则 a

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思 考 应 用

2.怎样求向量的投影？试求向量 a=(1,2)在向量 b=(2, -2)方向上的投影.分析：本题考查向量的数量积的几何意义.要求向量的投 影，需先求两向量的夹角，而这可根据数量积的性质求得. 解析：设向量 a 与 b 的夹角为 θ,则 1×2+2× -2 a· b 10 cos θ= = 2 =- . 2 2 2 |a||b| 10 1 +2 × 2 + -2 ∴a 在 b 方向上的投影为 2 10 =- . | a|cos θ= 5× - 2 10 栏 目 链 接

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自 测 自 评

1 . 已 知 a = (-3,4) , b = (5,2) , 则 |a| = ________,|b|=________,a· b=________.栏 目 链 接

答案：5

29 -7

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自 测 自

评2.已知 a=(2,-3),b=(-2,1),c=(-1,-2),则 a· (b+c)=________.栏 目 链 接

答案：-3

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自 测 自 评3.(2013· 福建卷)在四边形 ABCD 中， (-4,2),则四边形 ABCD 的面积为( A. 5 B.2 5 C.5 ) D.10栏 目 链 接

=(1,2),BD=

→· → =(1,2)· 解析：∵AC BD (-4,2)=-4+4=0, → ⊥BD →, ∴AC 1→ → 1 ∴S 四边形 ABCD= |AC|· |BD|= × 5×2 5=5. 2 2 答案：C

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自 测 自 评

4.已知向量 a,b 满足(a+2b) · (a-b)=-6,且 |a| =1,|b|=2 ,则 a 与 b 的夹角为________.栏 目 链 接

解析：因为(a+2b)· b-2b2=-6, (a-b)=-6,则 a2+a· 即 12+a· b-2×22=-6,a· b=1,所以 cos〈a,b〉= 所以〈a,b〉=60° . 答案：60° a· b 1 = , |a|· |b| 2

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题型1

向量数量积、模及夹角的坐标运算

例1 已知向量 a=(4,3),b=(-2,1).(1)求|a|,|b|; (2)求 a· b 的值； (3)求(a+2b)· (a-b)的值.栏 目 链 接

分析：用向量的数量积、模及夹角的坐标运算. 解析：(1)|a|= 42+32=5;

|b|= -2 2+12= 5.http://www.77cn.com.cn

(2)a· b=(4,3)· (-2,1)=-8+3=-5. (3)方法一 ∵a+2b=(0,5),a-b=(6,2),栏 目 链 接

∴(a+2b)· (a-b)=(0,5)· (6,2)=10. 方法二 b-2b2= (a+2b)· (a-b)=a2+a·

25-5-10=10. 点评： 求(a+2b)· (a-b)的值时，方法一用向量的坐标法， 先分别求出(a+2b)与(a-b)的坐标，再用数量积公式求解，方 法二直接用向量运算律进行运算.

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