如何构造辅助数列简化求解通项公式

如何构造辅助数列简化求解通项公式

作者：陕西洋县中学 刘大鸣 李鹏云

求数列的通项公式，整体变形探求相邻项之间的关系，构造一个辅助数列为等差或等比数列，通过解方程从而使问题获解.如何探求这个整体辅助数列？常需挖掘题设关系，用“待定系数法”、方程的观念、化归思想求解.

1 一般数列由切入点入手，构建 Sn的整体变量的数列求解.

例1 各项非零的数列 an 的前n项和Sn，首项a1 1且2S2n 2anSn an,n 2，求数列的通项an. 解析：由一般数列的切入点，“n 1时，a1 S1;n 2时，an Sn Sn 1”和题设易化归辅助数列为等差数列求解.

由2S2n 2anSn an,n 2和一般数列的切入点有，2S2n 2 Sn Sn 1 Sn Sn Sn 1 ，整理有，

2SnSn 1 Sn 1 Sn，易知SnSn 1 0，整体把握等差数列定义变形有，

1 11

2(n 2).则数列 为首SnSn 1 Sn

项1 1，2为公差的等差数列，1 1 n 1 2 2n 1，Sn 1.故所求通项公式

S1

Sn

2n 1

（n 1）

an 2

n 2 .

2n 12n 3评注：一般数列的切入点沟通了和于项之间的关系，常常借助于它寻求一般数列的切入点，构建辅助数列为等差（比）解决问题。

2 “等差型或等比型”数列用“累加（乘）法求通项公式。 例2（04重庆高考）设数列 an 满足 a1 1,a2 5,an 2 5an 1 2an,若bn an 1 an,求数列 an 的通项

3

3

3

公式.

解析：本题实质是求等差型数列的通项，为降低难度设计构造了一个辅助数列为等比数列，再用累加法求通项.从三项满足的递推关系和题设入手，

2

设bn 1 an 2 an 1 5an 1 2an an 2 an an 1 2bn,则 bn 是等比数列，故bn an an 1，类加

3333 3

2

1 2n 1

法得， 2 2 2n3 2 an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 ,a1 1, an 3 n 1,2,3, .

3 3 3 3 1 3

n

n

评析：等差（比）型数列取n-1个等式累加（乘）消（约）项得到数列通项公式，体现方程思想和特殊化思想的应用，蕴涵着演绎推理的方法。

3相邻两项满足一阶线性递推关系，待定系数法可化归辅助数列为等比数列求解. 例3（05山东）已知数列{an}且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）,求数列 an 的首项a1 5,前n项和为Sn，的通项公式

解析：由一般数列的切入点入手，探求相邻两项满足的一阶线性递推关系，构建辅助数列为等比数列求解。

一般数列的切入点沟通，

由已知Sn 1 2Sn n 5, ∴n 2时,Sn 2Sn 1 n 4,两式相减，得 Sn 1 Sn 2(Sn Sn 1) 1,即 an 1 2an 1, 变形构造数列 ， 从而an 1 1 2(an 1).当n=1时，S2=2S1+1+5， ∴

a1 a2 2a1 6

又

a1 5, a2 11,从而 a2 1 2(a1 1).

故总有

an 1 1 2(an 1),n N*.又∵ a1 5, an 1 0, 从而

an 1 1

2.即{an 1}是以a1 1 6an 1

为首项，2为公比的等比数列，则an 1 6 2n 1, an 3 2n 1.

评注：相邻两项满足线性递推关系，an 1 kan b k 0,k 1 ，待定系数法可化归辅助数列

b 为等比数列求通项解决。 an

k 1

4相邻三项满足线性递推关系，待定系数法可化归辅助数列为等比数列求解.

x1

例4 （05广东）已知数列{xn}满足x2 1,xn (xn 1 xn 2),n 3,4, .若limxn 2,则x1 （ ）

n 22A．

3

B．3 C．4 D．5 2

解析：

若注意选择题的特征，变量辅值，取特殊值有，

39153363

当x1 3时,由递推关系辅值，x2 ,x3 ,x4 ,x5 ,x6 ，lixm 2，选B；

2481632n n

若注重求解数列求通项的方法以及数列极限的求法，注意到相邻三项满足线性递推关系，可待

定系数法化为辅助数列为等差型数列求解。

从递推关系入手，若xn xn 1 k xn 1 xn 2 ，则对照系数有，k 1 1, k 1,故k 1，

2

2

2

xn xn 1

x1

xn 1 xn 2 , xn xn 1 1, xn xn 1 为等比数列，首项为x2 x1 1，公比为

22xn 1 xn 22

n 2

1 x 1

, xn xn 1 1 2 2 2

，则数列 an 为等差型数列，取n-1个等式累加有，

n 1

1 1 2 1

xn x1 x2 x1 x3 x2 xn xn 1 x1 1 x1

2 2 2

1

1

2 x

x1 1 1

2 1 2

n 1

2x1 1

3 2

n 1

x12x

, limxn 1 2, x1 3,选B3x 3

评析：相邻三项满足一阶线性递推关系的数列待定系数化为辅助数列为等比数列，其原数列实

质为等差型数列，应积累这一学习体验。

5 利用点在曲线上的意义构建辅助数列求解.

a 例5 已知一次函数f x 的图关于直线y x对称的图象为C，且f 1 =0，若点An n,n 1 n N 在C

an

上，a1 1时，对于大于或等于2的自然数n均有an 1 an 1.

an

an 1

⑴ 求C的方程；⑵ 求数列 an 的通项公式an；

⑶ 若 Sn

ana1a2

,求limSn. 3 2 14 3 2 1nn 1 2 1n

⑴ 设C的方程为 y ax b a 0 ，由f x 的图关于直线y x对称的图象为C，且f 1 =0，则 0,1

an 1 在C上，故b 1。又点A 在C上，则 a3 2a b,a2 a b, a3 a2 a 1, C:x y 1 0; n,n Nn

an

a2a1a2a1

⑵由an 1 an 1知，

an

an 1

an 1

an

是首项为a2 (a b)a1 2，公差为1的等比数列，

an 1aaa

n 1, an n n 1 2 a1 n n 1 2 1. an n n 1 2 1 anan 1an 2a1

(3).bn

an111111111111

Sn limSn .

n 2n 1 2 1n 2n 1n 1n 22334n 1n 22n 2n 2

6 构建辅助数列为“等差型或等比型数列”求解.

例6已知数列 an 满足an 1 2an 2n 1 3n 1, n N* ,a3 52,，求数列 an 的通项公式an. 简析：注意题设的特殊，对关系式整体变形构建辅助数列为“等差型数列”求通项. 注意次数关系，两边同除以2个等式累加有，

2n 12n 1

ana11 3 3 3 1 1 1 1

n 1 n

22 2 3 2 2 2 2 2 2

n 1

an 1an3n1 a

,n 1 n n 1 n 1 1 n 1 , n为等差型数列，取n-1n 2222 2

由an 1 2an 2n 1 3n 1, n N* ,a3 52,则a1 6, an n 2n 3n 1n N*. 注：本题依据an 1,2n 1,2an,3n齐次式的特征，变形构建 通项是求解的关键.

7捕捉题设的关键信息，方程组的观念构建求解

例7已知数列 an 的前n项和Sn， 满足Sn 2an 1 n,n 1，求数列 an 的通项公式an. 简析：本题系04年高考题，大都是用“叠代法”求解的.

若注意一般数列的切入点，注意到关键信息 1 n, 1 n 1总异号，可构建辅助数列为等比数列求解.

由Sn 2an 1 n,n 1，则Sn 1 2an 1 1 n 1,n 1，注意到一般数列的切入点，

an 1 Sn 1 Sn 2an 1 n 1 n 1 2an 2 1 n, an 2an 1 2 1 n 1，由关键信息 1 , 1

n

n 1

an

为等差型数列，用“累加法”求n 2

总异号，两递推关系相加

构建有 an 1 an 2 an an 1 n 2 , an 1 an 2 n 2 , an 1 an 是首项为a1 a2 1 0 1，公比为2的等比

an an 1

数列，an 1 an 2n 1与an 1 Sn 1 Sn 2an …… 此处隐藏：2421字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……