初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第11讲 双曲线

第十一讲 双曲线

形如y

k

(k 0)的函数叫做反比例函数，它的图象是由两条曲线组成的双曲线，与双x

k

中的系数k决定图象的大致位置及y随x变化的状况． x

曲线相关的知识有：

1． 双曲线解析式y

2．双曲线图象上的点是关于原点O成中心对称，在k>0时函数的图象关于直线y x轴对称；在k<0时函数的图象关于直线y x轴对称．

3．自变量的取值是不等于零的全体实数，双曲线向坐标轴无限延伸但不能接近坐标轴． 【例题求解】

k

的图象与直线y 2x和y x 1过同一点，则当x 0时，这x

个反比例函数的函数值y随x的增大而 (填增大或减小)．

【例1】 已知反比例函数y

思路点拨 确定k的值，只需求出双曲线上一点的坐标即可．

注：(1)解与反比函数相关问题时，充分考虑它的对称性(关于原点O中心称，关于y x轴对称)，这样既能从整上思考问题，又能提高思维的周密性．

(2)一个常用命题： 如图，设点A是反比例函数y 作AC⊥y轴于C，则 ①S△AOB=

1

k； 2

k

(k 0)的图象上一点，过A作AB⊥x轴于B，过Ax

②S矩形OBAC=k．

【例2】 如图，正比例函数y kx (k 0)与反比例函数y

1

的图象相交于A、C两点，过x

A作AB⊥x轴于B，连结BC，若S△ABC的面积为S，则( ) A．S=1 B．S =2 C．S=k D．S=k2

思路点拨 运用双曲线的对称性，导出S△AOB与S△OBC的关系．

【例3】 如图，已知一次函数y x 8和反比例函数y

k

(k 0)的图象在第一象限内有x

两个不同的公共点A、B． (1)求实数k的取值范围；

(2)若△AOB面积S＝24，求k的值． (2003年荆门市中考题)

思路点拨 (1)两图象有两个不同的公共点，即联立方程组有两组不同实数解； (2)S△AOB= S△COB S- S△COA，建立k的方程．

【例4】 如图，直线y

1

x 2分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的2

一点，PB⊥x轴于B，S△ABP=9． (1)求点P的坐标；

(2)设点R与点P在同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作PT⊥x轴于F，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标．

思路点拨 (1)从已知的面积等式出发，列方程求P点坐标；(2)以三角形相似为条件，结合线段长与坐标的关系求R坐标，但要注意分类讨论．

【例5】 如图，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴kk

(k 0，x 0)的图象上，点P(m，n)是函数y (k 0，x 0)xx

的图象上的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF

上， 点B在函数y

和正方形OABC不重合部分的面积为S． (1)求B点坐标和k的值；

(2)当S

9

时，求点P的坐标； 2

(3)写出S关于m的函数关系式．

思路点拨 把矩形面积用坐标表示，A、B坐标可求，S矩形OAGF可用含n的代数式表示，解题的关键是双曲线关于y x对称，符合题设条件的P点不惟一，故思考须周密．

注：求两个函数图象的交点坐标，一般通过解这两个函数解析式组成的方程组得到，求符合某种条件

的点的坐标，需根据问题中的数量关系和几何元素间的关系建立关于纵横坐标的方程(组)，解方程(组)便可求得有关点的坐标，对于几何问题，还应注意图形的分类讨论．

学历训练 1． 若一次函数y kx b的图象如图所示，则抛物线y x2 kx b的对称轴位于y轴的 侧；反比例函数y

kb

的图象在第在每一个象限内，y随x的增大而． x

2．反比例函数y

k

的图象经过点A(m，n)，其中m，n是一元二次方程x2 kx 4 0的两x

个根，则A点坐标为 ．

3．如图：函数y kx（k≠0）与y

4

的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥y轴，x

垂足为点C，则△BOC的面积为 ．

4．已知，点P(n，2n)是第一象限的点，下面四个命题：

(1)点P关于y轴对称的点P1的坐标是(n，-2n)； (2)点P到原点O

；(3)直线 y=-nx+2n不经过第三象限；(4)对于函数y=

n

，当x＜0时,y随x的增大而减小；其中x

真命题是 .(填上所有真命题的序号)

5．已知反比例函数y=

1 m

的图像上两点A(x1，y1)、B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1x

11 D.m＞ 22

＜y2 ,则m的取值范围是( ) A．m＜O B．m＞0 C. m＜

6．已知反比例函数y

k

的图象如图所示，则二次函数y 2kx2 x k2的图象大致为( ) x

7．已知反比例函数y

k

(k 0),当x 0时，y 随x的增大面增大，那么一次函数x

y kx k的图象经过( )

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限

8．如图，A、B是函数y

1

的图象上的点，且A、B关于原点O对称，AC⊥x轴于C，x

BD⊥x轴于D，如果四边形ACBD的面积为S，那么( ) A． S＝1 B．1<S<2 C．S>2 D．S＝2

9．如图，已知一次函数y=kx+b(k≠O)的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=

m

(m≠0)的图像在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D．若OA=OB=OD=l． x

（1）求点A、B、D的坐标；

（2）求一次函数和反比例函数的解析式．

10．已知A(x1、y1)，B(x2，y2)是直线y x 2与双曲线y (1)求k的取值范围；

(2)是否存在这样k的值，使得(x1 2)(x2 2)

x2x1

?若存在，求出这样的k值；若不存x1x2

k

(k 0)的两个不同交点． x

在，请说明理由．

11．已知反比例函数y

k

和一次函数y＝2x-1，其中一次函数图像经过(a，b)，(a+1，b+k)2x

两点．

(1)求反比例函数的解析式；

(2)如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图像上，求A点坐标；

(3)利用(2)的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使ΔAOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.

12．反比例函数y

k

的图象上有一点P(m，n)，其中m、n是关于t的一元二次方程x

t2 3t k 0的两根，且P到原点O的距离为，则该反比例函数的解析式为

13．如图，正比例函数y 3x的图象与反比例函数y

k

(k 0)的图象交于点A，若k取1，x

2，3…20，对应的Rt△AOB的面积分别为S1，S2，…，S20，则S1+S2+…+S20

14．老师给出一个函数y=f(x)，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质： 甲：函数图像不经过第三象限； 乙：函数图像经过第一象限；

丙：当x＜2时，y随x的增大而减小； 丁：当x＜2时，y＞0

已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数： ． ．． 15．已知反比例函数y

12

的图象和一次函数y kx 7的图象都经过点P(m，2)． x

(1)求这个一次函数的解析式；

(2)如果等腰梯形ABCD的顶点A、B在这个一次函数的图象上，顶点C、D在这个反

比例函数的图象上，两底AD、BC与y轴平 …… 此处隐藏：2125字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……