人教版高中数学选修1-2 直接证明与间接证明 课件9

2.2.2 间接证明

2.2.2 间接证明课时安排：一课时 课型： 新授课 教学目标: 一、知识与技能: 结合已学过的数学实例,了解间接证明的一种基本方法 ---反证法; 二、过程与方法: 了解反证法的思考过程,特点 三、情感态度价值观: 通过反证法的学习,帮助学生理解要从正反两个方面看 问题。

教学重点：了解间接证明的一种基本方法--反证法; 教学难点：了解反证法的思考过程,特点。

复习回顾：直接从原命题的条件逐步推得结论成立, 直接证明：这种证明方法叫直接证明。

(1)综合法—— 由因导果 已知条件 … … (2)分析法—— 执果索因 结论

结论

… … 已知条件

间接证明

间接证明(问题情境1)A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C 撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是 在撒谎，为什么？分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - 那么A假且B假; 由A假, 知B真. 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立, 则C必定是在撒谎.

间接证明(问题情境2)在《数学(必修)》第三章中， 2 如何证明 命题“在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB与A1C是异面直线”

间接证明(基本概念) 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法.反证法 一般地，假设原命题不成立， 经过正确的 因此说明假设错误，从而 推理， 最后得出矛盾。 这样的证明方法叫做反证法 证明了原命题成立， 反证法是一种常用的间接证明方法. (归谬法)。肯定条件p 否定结论 q 导致逻辑矛盾归缪矛盾：

“P且﹁q”为假 “若p则q”为真

合理的推理

(1)与已知条件矛盾；

(2)与已有公理、定理、定义矛盾； (3)自相矛盾。

间接证明(基本概念)反证法的过程包括以下三个步骤： (1) 反设——假设命题的结论不成立，即假定 原命题的反面为真； (2) 归谬——从反设和已知条件出发，经过一 系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果； (3) 存真——由矛盾结果，断定反设不真，从 而肯定原结论成立.

适宜使用反证法的情况:

正难则反!

(1)结论以否定形式出现； (2)结论以“至多-------,” ,“至少-----” 形式出现；

( 3)唯一性、存在性问题；(4) 结论的反面比原结论更具体更容易

研究的命题。

间接证明(例题1)求证：正弦函数没有比 小的正周期 2 .思路 先求出周期

用反证法证明 2 是最小正周期.

间接证明(例题1)解:假设T是正弦函数的周期 则对任意实数x都有:

假 设 最 小 正 周 期 T 2 0 故T 从而对任意实数x都应有

sin(x T ) sin x令x=0,得

sin(x ) sin x这与

sin T 0即

sin(

2

) sin

2

矛盾.

T k , k Z .

因此,原命

题成立.

间接证明(例题2)已知： f ( x) x2 px q 求证： (1)f (1) f (3) 2 f (2) 21 (2) f (1) , f (2) , f (3) 中至少有一个不小于 2 .

间接证明(例题3)求证： 2 是无理数。证：假设 2是有理数，2

∴ m = 2n

m 则存在互质的整数m,n使得 2 = , n

∴ m = 2n2 2

2

∴m 2 是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k(k∈N )

从而有4k = 2n ,即n = 2k

2

2

∴n2也是偶数，这与m,n互质矛盾！

所以假设不成立，2是有理数成立。

间接证明(习题1)1.求证:若一个整数的平方是偶数,则这个数也是偶数. 证: 假设这个数是奇数,可以设为2k+1, k Z . 则有

(2k 1) 4k 4k 12 2

而

4k 2 4k 1 (k Z)不是偶数这与原命题条件矛盾.