等差数列和等比数列的中项性质的拓展

等差数列和等比数列的中项性质是高中数学中的一个重要内容,也是高考数学命题的一个热点。如果我们从本质上揭示等差数列和等比数列的中项性质的内涵 ,那么,不仅会给我们提升对数列特征的学习有所帮助,也会为进一步培养学生的逻辑推理能力有一定好处。

等差数列和等比数列的中项性质的拓展

———福贡县第一中学 杨豪

摘要： 等差数列和等比数列的中项性质是高中数学中的一个重要内容，也是高考数学命题的一个热点。如果我们从本质上揭示等差数列和等比数列的中项性质的内涵 ，那么，不仅会给我们提升对数列特征的学习有所帮助，也会为进一步培养学生的逻辑推理能力有一定好处。 关键词：等差数列和等比数列 〃 中项性质 〃 拓展

从特殊入手，研究数学对象的性质，再逐步推广到一般是数学常用的研

究方法。我们下面从等差数列和等比数列中项性质出发，推导出其角标性质。有利于提高我们对等差数列、等比数列的认识，

一、内容介绍

等差数列和等比数列的角标性质——数列中任意序数和相等的两项之间

的关系。

（一）等差数列中项 1、概念与内容

由三个数a、A、b组成等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项，即2A=a+b 或A=

a b2

〃

2、拓展与提升

若等差数列 an 中的项ap、aq、ar、as（p、q、r、s N*）且满足p+q=r+s，则有ap+aq=ar+as成立。

即等差数列 an 中任意两项序数和相等的两项的和相等。 3、证明其性质。

若等差数列 an 的公差为d，首项为a1，且p、q、r、s N*，于是有，ap=a1 +(p-1)d，aq =a1 +(q-1)d，所以，ap+aq=2a1+(p+q-2)d ， 同理可得，ar+as=2a1+(r+s-2)d 。 因为p+q=r+s，所以ap+aq=ar+as〃（Ⅰ）

（二）等比数列的中项 1、概念与内容

若在a与b两个数之间插入一个数G，使a、G、b成等比数列，则称G为a与b的等比中项（a、G、b都为非零数）。即G2=ab或G= ab〃

等差数列和等比数列的中项性质是高中数学中的一个重要内容,也是高考数学命题的一个热点。如果我们从本质上揭示等差数列和等比数列的中项性质的内涵 ,那么,不仅会给我们提升对数列特征的学习有所帮助,也会为进一步培养学生的逻辑推理能力有一定好处。

2、拓展与提升

若等比数列 an 中的项am、an、ar、as（m、n、r、s N*）且满足p+q=r+s，则有am.an= ar.as成立。

即等比数列 an 中任意两项序数和相等的两项的积相等。 3、证明其性质。

若等比数列 an 的公比为q(q 0)，首项为a1，且m、n、r、s N*，于是有，am =a1qm 1, an=a1qn 1，因此am.an=a12qm n 2 同理可得，ar.as=a12.qr s 2.

因为m+n=r+s，所以am.an=ar.as(Ⅱ）

我们把（Ⅰ）、（Ⅱ）称为等差数列和等比数列的角标性质。

（三）应用

我们知道，数学学习的宗旨就是要从特殊和表面现象中总结出一般规律，然后再去指导实践解决实际问题。

二、处理教材中的练习与习题

1、已知 an 是等差数列 （1）2a5=a3+a7是否成立？2a5=a1+a9成立吗？为什么？ （提示：5+5=3+7=1+9 ）

（2）2an=an 1+an 1（n>1）是否成立？据此你可能得出什么结论？ (提示：n+n=(n-1)+(n+1) )

（3）若2an=an k+an k（n>k>0）是否成立？你又能得出什么结论？ （提示：n+n=(n-k)+(n+k) ） 2、已知 an 是比差数列

（1）a52=a3.a是否成立？a52=a1.a9成立吗？为什么？

7

（提示：5+5=3+7=1+9 ）

（2）an2=an 1.an 1（n>1）是否成立？据此你可能得出什么结论？ (提示：n+n=(n-1)+(n+1) )

（3）若an2=an k.an k（n>k>0）是否成立？你又能得出什么结论？ （提示：n+n=(n-k)+(n+k) ）

等差数列和等比数列的中项性质是高中数学中的一个重要内容,也是高考数学命题的一个热点。如果我们从本质上揭示等差数列和等比数列的中项性质的内涵 ,那么,不仅会给我们提升对数列特征的学习有所帮助,也会为进一步培养学生的逻辑推理能力有一定好处。

三、解决高考中的数列问题

运用等差数列和等比数列的角标性质来解决高考问题，能够使我们的考生事半功倍，增强考试信心。对指导复习工作具有重要意义。 例如：

1、如果等差数列 an 中，a3+a4+a5=12，那么，a1+a2+…+a7=

（A）14

(B) 21 (C)28 (D)35

(提示：a3+a5=a1+a7=2a4 ) 1、

已知在等差数列 an 中，a1+a9=10，则a5的值为：

(B)6 (C)8

(D)10

（A）5

(提示：a1+a9=2a5 )

2、

已知 an 是比差数列，Sn是它的前n项和。若a2a3=2a1，

54

且a4与2a7的等差中项为（A）35

，则Sn为：

(D)29

54 a7

(B)33 (C)31

(提示：由a2a3=a1a4=2a1 a4=2，再由a4+2a7=2×

q

3

=

14

，

=

a7a4

=

18

q

=

12

，从而可知a1=16，进一步可求得Sn )

当然，这一部分内容仅仅是高中数学内容的冰山一角。通过这样的学习活动培养学生如何去思考、如何去钻研的学习习惯和学习态度。从心理学来看，高中生的心理和生理都趋于成熟，我们应该着手于加强高中生的分析问题和理解问题能力的培养，提高他们的抽象思维能力和逻辑思维能力,从而提高学习效率。反对死记硬背和题海战术，真正把他们从学习“苦海”中解救出来。这也是我们做老师的心得。 参考文献：

[1]人民教育出版社，中学数学室.数学（高中必修），2006年6月第 版. [2]施致良.中小学劳动与技术教育[J]教学案例专题研究，浙江大学出版社，2001年3月第一版。

说明：本文在2010年云南省第六届教育教学论文研讨活动中荣获一等奖。因此，该文在2010年云南“教育研究专辑”中得到发表。

2011年4月

等差数列和等比数列的中项性质是高中数学中的一个重要内容,也是高考数学命题的一个热点。如果我们从本质上揭示等差数列和等比数列的中项性质的内涵 ,那么,不仅会给我们提升对数列特征的学习有所帮助,也会为进一步培养学生的逻辑推理能力有一定好处。