三道国家集训队试题的简解

数学竞赛

22中等数学

三道国家集训队试题的简解

　　题1　设x、y、z>

0,x+y+z=1.求证:

.①

2+yzyz+zx+xy

(2006,中国国家集训队考试(四))证法1:由柯西不等式有

+yz+c

22

22

++

yz+zx

22

+

+xy

+b

2

2

2

+

+

=

+a

2

2

+

2

xy+yzx+z

++

yz+zx+x

+

+xy+y

≤++.

a+cb+ac+再设S=++,

a+cb+ac+bT=++.

a+cb+ac+b

2

2

2

2

2

2

==

+

x+yy+zz+(x+y)(x+z)

+(y+(y+x(z+y)

2

2

≤(x+y+z)

　++

x+y)(x+z)(y+z)(y+x)(z+x)(z+y)= ++.

x+y)(x+z)(y+z)(y+x)(z+x)(z+y)

2

2

2

2

因此,要证式①只须证

++(x+y)(x+z)(y+z)(y+x)(z+x)(z+y2

2

2

2

Ζ4[x2y(y+z)+y2z(z+x)+z2x(x+y)]　≤(x+y)(y+z)(z+x)(x+y+z)Ζx3y+xy3+y3z+yz3+z3x+zx3-222222

　2(xy+yz+zx)≥0Ζxy(x-y)2+yz(y-z)2+zx(z-x)2　≥0.后一不等式显然成立.故不等式①成立.

证法2:令x=a,y=b,z=c.则22

a+b+c=1.从而,

2

则S-T

22222=cc+b=(b-a)c+(c-b)a=0.,S=T.

222

故2S-1=S+T-(a+b+c)222222=-b+-c+

a+cb+a22

2

-a

c+b22

=+

a+c22

+

b+a22

c+b

=+

a+c

+

b+a

cb

=ab(a-b)-+

a+cc+bc(b-c)-+

b+aa+ca(c

-a)-c+bb+22

=--(a+c)(c+b)(b+a)(a+c)

数学竞赛

2007年第8期23

2

　-(

c+b)(b+a)

O1A-O1P=EP PF.

22

≤0.

从而,2S≤1.

所以,S=++.

a+cb+ac+b2

2

2

2

.2xy+yz+zx+xy

(苏　霖　山东省寿光一中04级实验部,262700)　　题2　已知E、F是△ABC边AB、AC的中点,CM、BN是边AB、AC上的高,联结EF、MN交于点P.又设O、H分别是△ABC的外

[1]

心、垂心,联结AP、OH.求证:AP⊥OH.

(2005,中国国家队集训题)证明:如图1,联结AO、AH.设线段AO、AH的中点分别为O1、H1,则OHO1H1.所以,图1证明AP⊥O11.

因为∠AMH=∠ANH=90°,所以,

H1M=H1N=AH=AH1.

2

故H1为△AMN的外心.如图2,过点H1

作H1D⊥MN交MN于点D.显然,D是MN的中点.则有图2

222

H1P=H1D+DP

222

=H1M-MD+DP

2

=H1M-(MD-DP)(MD+DP)

2

=H1M-MP PN.

22

故H1A-H1P

22

=H1A-H1M+MP PN=MP PN.

易知△AEF与△ABC以点A为中心成

位似,且位似比为.

2

由O1为AO的中点,知O1是△AEF的外心.

于是,同上可得

故

+

+

由EF∥BC,知∠EFN=180°-∠ACB.又因为M、B、C、N四点共圆,则有∠EMN=180°-∠ACB.所以,∠EFN=∠EMN.故M、E、N、F四点共圆.于是,MP PN=EP PF.

2222

综上可得H1A-H1P=O1A-O1P.因此,AP⊥O1H1.

由上面的证明不难推出:

设四边形ABCD内接于圆,对角线AC、BD交于点F,AB、CD交于点E,△EAC、△EBD的外心分别为O1、O2.则

EF⊥O1O2.

参考文献:

[1]年O,选拔考试命题

.)上海:华东师

　浙江省余姚市余姚中学高三(13)班,315400)

题3　设x、y、z为实数,0<x<y<z<

π

.证明:2

π

+2sinx cosy+2siny cosz2

>sin2x+sin2y+sin2z.

(1990,中国国家集训队测试题)

证明:将所证的不等式进行整理后等价于证明:

sinx(cosx-cosy)+siny(cosy-cosz)+

π

sinz cosz<.

4π

由于0<x<y<,所以,

2

sinx<siny,cosy<cosx.则sinx(cosx-cosy)<(sinx+siny)(cosx-cosy).2

同理,siny(cosy-cosz)<(siny+sinz)(cosy-cosz).2

又sinz cosz<(sinz+1)cosz,

2

将以上三式相加有

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24中等数学

一道IMO预选题的简证

刘才华

(山东省宁阳第一中学,271400)

　　题目　如图1,已知 ABCD,一条过点A的动直线l与射线BC、DC分别交于点X、Y,△ABX中∠BAX内的旁心为K,△ADY中∠DAY内

(第46届IMO预选题)

图1

[1]

同理,∠AKB=β.从而,△ALD∽△KAB.于是,进而,

==.KABACD=.ALAK

结合∠LDC=∠LAK=α+β,得△DCL∽△AKL.

于是,∠D∠,KC∽△AKL,得∠CKL=∠AKB=β.

故∠KCL=180°-∠CLK-∠CKL=180°-α-β=180°-∠BAD2

的旁心为L.证明:∠KCL为定值.

证明:=,∠KAB==∠LAD=∠LAY=β.

设线段AB、AD延长线上的点分别为

B′、D′,则

∠LDD′=

∠BAD=α+β.2

为不依赖于动直线l

的一个定值.

参考文献:

[1]　李建泉　译.第46届IMO预选题(上)[J].中等数学.

2006(9).

所以,∠ALD=α.

　　收稿日期:2006-10-08

　　sinx(cosx-cosy)+siny(cosy-cosz)+

　sinz cosz<[(sinx+siny)(cosx-cosy)+2

　(siny+sinz)(cosy-cosz)+　(sinz+1)cosz]　　=(sinx cosx+siny cosx-sinx cosy+

2　sinz cosy-cosz siny+cosz)=sin2x+sin(y-x)+sin(z-y)+cosz22=sin2x+sin(y-x)+42

πsin(z-y)+sin-z222<×2x+(y-x)+(z-y)+4222=

π

-z2

π.4

注:上述证明的最后一步用到了下面基本的三角不等式:

π

设x0,,则有sinx<x.

2

(丁兴春　江苏省南京市上新河中学,210019)