8-2 拉格朗日方程的第一积分

清华大学理论力学课件

动能的结构第8章第二类拉格朗日方程及其应用&& T= 1∑ mi ri ri 2 iN

& ri=∑

第2节拉格朗日方程的第一积分

ri r& q+ i q j j t j=1n

N n r r n r r &&= 1∑ mi ∑ i q j+ i ∑ i ql+ i 2 i t l ql t j q j

= T2+ T1+ T0N r r T0= 1∑ mi i i t t 2 i

对于定常约束 T0= 0; T1= 0

T1=∑∑ mij i

n

N

ri ri& q q j t j

2005年12月18日

n n N r r&& T2= 1∑∑∑ mi i i q j ql q j ql 2 j l i

广义能量积分第8章第二类拉格朗日方程及其应用如果系统主动力皆有势，且拉格朗日函数L不显含时间t:= L(q1, q 2, L, q n; q1, q 2, L, q n )&&& LdL= L q+ L q &&&∑& dt j=1 q j j q j j n

广义能量积分第8章第二类拉格朗日方程及其应用欧拉齐次式定理：&&&∑ q2 q j= 2T2,∑ q1 q j= T1,∑ q0 q j= 0 j=1& j j=1& j j=1& jn

T

n

T

n

T

L d L由于主动力有势：dt q q= 0& j

拉格朗日函数可写为：L= T2+ T1+ T0 V L&∑ q q j L= E&n j=1 j

j

dL= d L q+ L q = d n L q &&&∑&&j∑& dt j=1 dt q j j q j j dt j=1 q j & n L d&∑& q L = 0 dt j=1 q j j n

T2 T0+ V= E

T对于定常约束，有 T1= T0= 0,= T2故

T+V= E机械能守恒仅是广义能量守恒的特殊情形。

L&∑ q q j L= E—广义能量积分，或广义能量守恒 j=1& jn

循环积分第8章第二类拉格朗日方程及其应用如系统中主动力皆有势，且拉格朗日函数L不显含某广义坐标qj: L= 0 q jd L = 0 dt q j & d L L= 0 dt q j q j &

例 8-2-1第8章第二类拉格朗日方程及其应用试分析第一积分。y O xmA g

椭圆摆

A BmB g

x

L= C j& q j L= T= p j&& q j q j

循环积分

V与广义速度无关

pj—广义动量

刚体平动和定轴转动时广义动量的物理意义?

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解第8章第二类拉格朗日方程及其应用取x和 为广义坐标&&&&& L= 1 m A x 2+ 1 mB ( x 2+ l 2 2+ 2lx cos )+ mB gl cos 2 2

例 8-2-2第8章第二类拉格朗日方程及其应用试分析第一积分。yO′

a) x为循环坐标，存在循环积分 L= m x+ m ( x+ l cos )= C水平方向动量守恒& A& B&& x

xrC

& x& xrvC

x O

α

x

b) L不显含t,存在广义能量积分1 m x 2+ 1 m ( x 2+ l 2 2+ 2lx cos ) m gl cos = E&&&&& B 2 A 2 B机械能守恒

将以上结果与拉氏

方程比较：&&& x: ( mA+ mB )&&+ mB l cos mB l 2 sin = 0 x&& x : l +&& cos + g sin = 0

首次积分就是微分方程积分一次的结果！

解第8章第二类拉格朗日方程及其应用系统的拉格朗日函数为:&&&& L= 1 ( M+ m ) x 2+ 3 mxr2+ mxxr cosα+ mgxr sinα 2 4

例 8-2-3第8章第二类拉格朗日方程及其应用小车的车轮在水平地面上作纯滚动，每个轮子的质量为m1,半径为r,车架质量不计。车上有一质量弹簧系统，弹簧刚度系数为k,物块质量为m2,物块与平板间的摩擦忽略不计。试分析拉格朗日方程的首次积分。

广义能量积分为T2 T0+ V= 1 ( M+ m ) x 2+ 3 mx 2+ mxx cosα mgx sinα= E&&&&r r 2 4 r

与循环坐标x相对应的循环积分为 L= ( M+ m ) x+ mx cosα= C&&r& x

xrkm1 m2 m1

x

解第8章第二类拉格朗日方程及其应用选取x和xr为广义坐标。&& 2 2&& T= 2 [ 1 m1 x 2+ 1 1 m1r 2 ( x ) 2]+ 1 m2 ( x+ xr ) 2 2 r 23& 2&&= 2 m1 x 2+ 1 m2 ( x+ xr )2

例 8-2-4第8章第二类拉格朗日方程及其应用半径为R的圆环以角速度ω匀速转动，质量为m的小环可在圆环上自由滑动，如下图所示。已知圆环对y轴的转动惯量为J,忽略摩擦力。试分析系统的第一积分。

V= 1 kxr2 23& 2&& L= 2 m1 x 2+ 1 m2 ( x+ xr ) 2 1 kxr2 2

广义能量积分为T2 T0+ V&= 3 m1 x 2 2&&+ 1 m2 ( x+ xr )2+ 1 kxr2= E 2 2&&&循环积分为 T= 3m1 x+ m2 ( x+ xr )= C& x

O R m

讨论：广义动量守恒，但动量不守恒。

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解第8章第二类拉格朗日方程及其应用取θ为广义坐标。& T= 1 Jω 2+ 1 m( R 2 sin 2θω 2+ R 2θ 2 ) 2 2

讨论第8章第二类拉格朗日方程及其应用1.匀速转动约束为理想约束 2.广义能量守恒，但机械能不守恒 3.无外力矩作用情况& L= 1 ( J+ mR 2 sin 2θ ) 2+ 1 mR 2θ& 2+ mgR cosθ 2 2

& T2= 1 mR 2θ 2, T0= 1 ( J+ mR 2 sin 2θ )ω 2 2 2V= mgR cosθ& L= 1 mR 2θ 2+ 1 ( J+ mR 2 sin 2θ )ω 2+ mgR cosθ 2 2T2 T0+ V= 1 mR 2θ& 2 1 ( J+ mR 2 sin 2θ )ω 2 mgR cosθ= E 2 2

a) 为循环坐标，存在循环积分 L= J + mR 2 sin 2θ = C系统动量矩守恒&&&

b) L不显含t,存在能量积分1 ( J+ mR 2 sin 2θ ) 2+ 1 mR 2θ& 2 mgR cosθ= E& 2 2

系统能量守恒

例 8-2-5第8章第二类拉格朗日方程及其应用分析拉格朗日方程的首次积分

解第8章第二类拉格朗日方程及其应用系统的拉格朗日函数为:&&&&& L= 1 mA x 2+ 1 mB ( x 2+ xr2+ 2 xxr cosα )+ mB gxr sinα 2 2&&&& T2= 1 ( m A+ mB ) x 2+ 1 mB xr2+ mB xxr cosα 2 2T1= T0= 0

mA

xr

& xα

& x& xr

x

V= mB gxr sinα系统机械能守

恒

a.广义能量积分 T+ V= E b.对x的循环积分 L= C x &

L= ( m+ m ) x+ m x cosα= C系统水平方向&& A B B r& x动量守恒

&& c.联立求解得 x和 xr,再积分后既得系统运动规律

两种建模方法的比较第8章第二类拉格朗日方程及其应用拉氏方法：未知数少，得到的是单纯的常微分方程，有成熟的数值分析方法；需对动能求两次导，对时间求一次导，推导过程较繁琐，且不能求未知约束力；微分方程的非线性程度高；牛顿力学方法：过程简单，概念清楚，且可以求约束力；未知量多，得到的是微分-代数方程，数值求解较为困难；微分方程的非线性程度低；