常数项级数习题课(09)

常数项级数的敛散性及判别(09)

常数项级数小结常数项级数

指 ∑

∞

n =1

u n = u1 + u 2 + L + u n + L

一：用定义判别常数项级数的敛散性

若

lim sn = sn →∞

则

∑un =1

∞

n

收敛,

反之发散

常数项级数的敛散性及判别(09)

二：常数项级数敛散性的性质

∑u与∑n =1 n

∞

∞

n =1

ku n = k ∑ u n (k ≠ 0)n =1

∞

有相同的敛散性

收敛+收敛 收敛-收敛 收敛+发散

收敛 收敛 发散

常数项级数的敛散性及判别(09)

三：用必要条件判别常数项级数的敛散性若 lim un ≠ 0 ,则级数必发散n →∞

若 lim un =0 ,则级数的敛散性不确定n →∞

常数项级数的敛散性及判别(09)

四：特殊的常数项级数敛散性的判别1 对于 ∑ un , (un ≥ 0) 正项级数n =1 ∞

先用比值法， 判别法 先用比值法，失效后改用比较法

比较法

un = l, 如果 lim n→ ∞ v n

则(1) 当0 < l < +∞ 时 二级数有相同的敛散性 (2) 当 l = 0 时，∞ ∞

un < vn > vnn

(3)当 l = +∞ 时, u n

设

∑u , ∑v ,0 ≤ un=1 n n=1 n

≤ vn

大收，则小收 大收，则小收; 小发，则大发。 小发，则大发。

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2对于 ∑ ( 1)n+1 un , (un ≥ 0) 交错级数 对于n =1

∞

判别法

un +1 < un lim u = 0 n→∞ n

则

( 1) n +1 un , (un ≥ 0) 收敛 ∑n =1

∞

常数项级数的敛散性及判别(09)

3对于 对于

∑un =1

∞

n

un 是任意实数 任意项级数 是任意实数,

判别法u n +1 若 lim n→ ∞ u n < 1 = ρ > 1 = 1

∑ u 收敛n =1 n

∞

∑ u 发散n =1 n

∞

敛散性不确定 改用其它方法n

∑un =1 ∞ n =1

∞

n

收敛

∞ n =1

∑un =1 n

∞

绝对收敛

∑u

n

发散， 发散，但

∑u

收敛， 收敛，条件收敛

常数项级数的敛散性及判别(09)

练习：判别下列级数敛散性， 练习：判别下列级数敛散性，若收敛说明是何种收敛.

n2 (1) ∑ n n =1 3

∞

正项级数

un +1 Q lim n →∞ u n∞ 2

(n + 1) n +1 = lim 3 2 n →∞ n n 3

2

1 (n + 1) 2 3n = = lim n +1 2 n →∞ 3 3 n

n ∑ 3n 收敛 n =1

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(2)

∑ ( 1)n =1

∞

n

n 2n + 12

交错级数

1 = ≠0 Q lim un = lim 2 n →∞ n →∞ 2 2n + 1n

∑ ( 1)n =1

∞

n

n 2n + 12

发散

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( 1) (3) ∑ n =1 ln( n + 1)∞

n 1

交错级数

1 lim un = lim =0 n →∞ n →∞ ln( n + 1)1 1 un = , un +1 = ln(n + 1) ln(n + 2)

∴ un +1 < un

∑ ( 1)n =1

∞

n 1

1 收敛 ln(n + 1)

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∞ 1 1 n 1 =∑ 而∑ ( 1) ln(n + 1) n =1 ln(n + 1) n =1

∞

正项级数

1 un n ln(n + 1) Q lim = lim = lim = lim(n + 1) = ∞ n →∞ 1 n →∞ n →∞ ln( n + 1) n →∞ 1 n n

1 Q∑ 发散 n =1 n∞ n 1

∞

1 ∑ ln(n + 1) n =1

∞

发散

1 ∑( 1) ln(n +1) 条件收敛 n=1

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1 4 ( ) ∑ ( 1) 2 (2n 1) n =1 ∞ ∞ 1 1 n 1 解： ( 1) =∑ ∑ 2 (2n 1) (2n 1) 2 n =1 n =1n 1

∞

正项级数

1 2 2 un n 1 (2n 1) lim = lim = lim = ∈ (0, +∞) 2 n →∞ 1 n →∞ n →∞ (2n 1) 1 4 2 2 n n ∞ ∞ 1 1 Q 收敛 ∑ 收敛 2 2 n =1 (2n 1) n =1 n

∑∞ n =1

∴ ∑ ( 1)

n 1

1 绝对收敛 2 (2n

1)

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( ) 5

∑sin 2n=1n →∞

∞

πn

正项级数

sin 解1Q lim

π2n +1

sin

πn

2

2 n+1 = 1 = lim n→ ∞ π 2 2n

π

∴ ∑ sinn =1

∞

π2n

收敛

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解2

sinQ lm in →∞

π= lm π in →∞

2n 1 2n

sin

π2n

π

=π

2n

1 又 Q ∑ n 收敛 n =1 2∴ ∑ sinn =1 ∞

∞

π2n

收敛

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( ) 6

∑n =1

∞

n +1 n

n+1 Q 解： lim un = lim =1 ≠0 n→ ∞ n→ ∞ n

∴∑n =1

∞

n+1 发散 n

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( ) 7

∑n =1

∞

cos nπ n3

解

Q

cos nπ n3 2

≤

1 n3 2

,

而∑n =1 ∞

∞

1 n3 2

收敛

∴∑n =1

cos nπ n3

绝对收敛

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另解： ∑n =1

∞

cos nπ n3

=∑n =1

∞

( 1 )n

n3

n ∞ 1 ( 1) |= ∑ 3 收敛 Q∑| n =1 n =1 n3 n2 ∞

∴∑n =1

∞

cos nπ n3

绝对收敛