Creoih高考数学难点突破 难点01 集合思想及应用

Creoih高考数学难点突破 难点01 集合思想及应用

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||生活|

一个人总要走陌生的路，看陌生的风景，听陌生的歌，然后在某个不经意的瞬间，你会发现，原本费尽心机想要忘记的事情真的就这么忘记了.. |-----郭敬明

难点1 集合思想及应用

集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.

●难点磁场

(★★★★★)已知集合A={(x,y)|x2+mx－y+2=0},B={(x,y)|x－y+1=0,且0≤x≤2},如果A∩B≠ ,求实数m的取值范围.

●案例探究 ［例1］设A={(x,y)|y2－x－1=0},B={(x,y)|4x2+2x－2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C= ，证明此结论.

命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题.属★★★★★级题目.

知识依托：解决此题的闪光点是将条件(A∪B)∩C= 转化为A∩C= 且B∩C= ，这样难度就降低了.

错解分析：此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内涵，因而可能感觉无从下手.

技巧与方法：由集合A与集合B中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b、k的范围，又因b、k∈N,进而可得值.

解：∵(A∪B)∩C= ，∴A∩C= 且B∩C=

y2 x 1∵ ∴k2x2+(2bk－1)x+b2－1=0 y kx b

∵A∩C=

∴Δ1=(2bk－1)2－4k2(b2－1)<0

∴4k2－4bk+1<0,此不等式有解，其充要条件是16b2－16>0,即b2>1

①

4x2 2x 2y 5 0∵ y kx b

∴4x2+(2－2k)x+(5+2b)=0

∵B∩C= ,∴Δ2=(1－k)2－4(5－2b)<0

∴k2－2k+8b－19<0,从而8b<20,即b<2.5 ② 由①②及b∈N,得b=2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得

2 4k 8k 1 0,

2

k 2k 3 0

∴k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(A∪B)∩C= .

［例2］向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B

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都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？

命题意图：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目.

知识依托：解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来. 错解分析：本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索

.

技巧与方法：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系. 解：赞成A的人数为50×

3

=30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组5

x

+1,赞成A而3

成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B.

设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x.

依题意(30－x)+(33－x)+x+(

x

+1)=50,解得x=21. 3

所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人. ●锦囊妙计

1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.

2.注意空集 的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A B,则有A= 或A≠ 两种可能，此时应分类讨论.

●歼灭难点训练 一、选择题

1.(★★★★)集合M={x|x=

kx k ,k∈Z},N={x|x= ,k∈Z},则( ) 2422

A.M=N B.MN C.MN D.M∩N=

2.(★★★★)已知集合A={x|－2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m－1}且B≠ ,若A∪B=A，则( )

A.－3≤m≤4 B.－3<m<4 C.2<m<4 D.2<m≤4 二、填空题

3.(★★★★)已知集合A={x∈R|ax2－3x+2=0,a∈R},若A中元素至多有1个，则a的取值范围是_________.

4.(★★★★)x、y∈R,A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|素时，a,b的关系式是_________. 三、解答题

xy

=1,a>0,b>0},当A∩B只有一个元ab

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5.(★★★★★)集合A={x|x2－ax+a2－19=0},B={x|log2(x2－5x+8)=1}，C={x|x2+2x－8=0},求当a取什么实数时，A∩

B 和A∩C= 同时成立.

6.(★★★★★)已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A={(an,

Sn1

)|n∈N*},B={(x,y)| x2－y2=1,x,y∈R}.

4n

试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明.

(1)若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上； (2)A∩B至多有一个元素；

(3)当a1≠0时，一定有A∩B≠ .

7.(★★★★)已知集合A={z||z－2|≤2,z∈C},集合B={w|w=

1

zi+b,b∈R},当A∩B=B时，2

求b的值.

8.(★★★★)设f(x)=x2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f［f(x)］=x}. (1)求证：A B;

(2)如果A={－1，3}，求B.

参考答案

难点磁场

x2 mx y 2 0

解：由 得x2+(m－1)x+1=0

x y 1 0(0 x 2)

①

∵A∩B≠

∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解.

首先，由Δ=(m－1)2－4≥0,得m≥3或m≤－1,当m≥3时，由x1+x2=－(m－1)＜0及x1x2=1>0知，方程①只有负根，不符合要求.

当m≤－1时，由x1+x2=－(m－1)>0及x1x2=1>0知，方程①只有正根，且必有一根在区间(0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内.

故所求m的取值范围是m≤－1. 歼灭难点训练

一、1.解析：对M将k分成两类：k=2n或k=2n+1(n∈Z),M={x|x=nπ+nπ+

4

,n∈Z}∪{x|x=

3 ,n∈Z},对N将k分成四类，k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),N={x|x=nπ+,n42

3 5

∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+π,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}.

44

答案：C

2.解析：∵A∪B=A，∴B A,又B≠ ,

m 1 2

∴ 2m 1 7即2＜m≤4. m 1 2m 1

答案：D 二、3.a=0或a≥

9 8

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4.解析：由A∩B只有1个交点知，圆x2+y2=1与直线

abxy

, =1相切，则1=22aba b

即ab=a2 b2.

答案：ab=a2 b2

三、5.解：log2(x2－5x+8)=1,由此得x2－5x+8=2，∴B={2,3}.由x2+2x－8=0，∴C={2,－

4},又A∩C= ，∴2和－4都不是关于x的方程x2－ax+a2－19=0的解，而A∩

B ,即A∩B≠ ,

∴3是关于x的方程x2－ax+a2－19=0的解，∴可得a=5或a=－2.

当a=5时，得A={2，3}，∴ …… 此处隐藏：3033字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……