2014年31届全国中学生物理竞赛复赛试题答案

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第31届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答

2014年9月20日

一、（12分）（1）球形

（2）液滴的半径r、密度 和表面张力系数 （或液滴的质量m和表面张力系数 ）（3）解法一

假设液滴振动频率与上述物理量的关系式为

f kr

①

式中，比例系数k是一个待定常数.任一物理量a可写成在某一单位制中的单位[a]和相应的数值

{a}的乘积a {a}[a].按照这一约定，①式在同一单位制中可写成

{f}[f] {k}{r} { } { } [r] [ ] [ ]

由于取同一单位制，上述等式可分解为相互独立的数值等式和单位等式，因而

[f] [r] [ ] [ ]

②

力学的基本物理量有三个：质量m、长度l和时间t，按照前述约定，在该单位制中有

m {m}[m]，l {l}[l]，t {t}[t]

于是

[f] [t] 1

③④⑤⑥

[r] [l][ ] [m][l] 3

[ ] [m][t] 2

将③④⑤⑥式代入②式得

[t] 1 [l] ([m][l] 3) ([m][t] 2)

即

[t] 1 [l] 3 [m] [t] 2

⑦

由于在力学中[m]、[l]和[t]三者之间的相互独立性，有

3 0， 0，

2 1

解为

⑧⑨⑩

, ,

3

21212

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将 式代入①式得

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f

解法二

假设液滴振动频率与上述物理量的关系式为

f kr

①

式中，比例系数k是一个待定常数.任一物理量a可写成在某一单位制中的单位[a]和相应的数值{a}的乘积a {a}[a].在同一单位制中，①式两边的物理量的单位的乘积必须相等

[f] [r] [ ] [ ]

②

力学的基本物理量有三个：质量M、长度L和时间T，对应的国际单位分别为千克（kg）、米（m）、秒（s）.在国际单位制中，振动频率f的单位[f]为s，半径r的单位[r]为m，密度 的单位[ ]为kg m 3，表面张力系数 的单位[ ]为N m=kg (m s) m

[f] s 1

1

2

1

1

kg s 2，即有

③④⑤⑥

[r] m[ ] kg m 3

[ ] kg s 2

若要使①式成立，必须满足

1

kg s

3 2

(kg) m 3 s 2

⑦

T的单位三者之间的相互独立性，有

⑧⑨⑩

将 式代入①式得

12

f

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评分标准：本题12分.第（1）问2分，答案正确2分；第（2）问3分，答案正确3分；第（3）问7分，⑦式2分， 式3分， 式2分（答案为f分）.

f f、或2

二、(16分)

解法一：瓶内理想气体经历如下两个气体过程：

放气(绝热膨胀)等容升温

(pi,V0,T0,Ni) (p0,V0,T,Nf) (pf,V0,T0,Nf)

其中，(pi,V0,T0,Ni),(p0,V0,T,Nf)和(pf,V0,T0,Nf)分别是瓶内气体在初态、中间态与末态的压强、体积、温度和摩尔数．根据理想气体方程pV NkT，考虑到由于气体初、末态的体积和温度相等，有

pfpi

NfNi

①

另一方面，设V 是初态气体在保持其摩尔数不变的条件下绝热膨胀到压强为p0时的体积，即

绝热膨胀

(pi,V0,T0,Ni) (p0,V ,T,Ni)

此绝热过程满足

V0 p0

V pi

1/

②

由状态方程有p0V NikT和p0V0 NfkT，所以

NfNi

联立①②③式得

V0V

③

pf

此即

p 0 pi pi

1/

④

pip0

lni

pf

ln

由力学平衡条件有

⑤

pi p0 ghi

⑥⑦

pf p0 ghf

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式中，p0 gh0为瓶外的大气压强， 是U形管中液体的密度，g是重力加速度的大小.由⑤⑥⑦式得

ln(1

h

ln(1 i ln(1 fh0h0

hi

h0

⑧

利用近似关系式：当x 1, ln(1 x) x，以及hi/h0 1, hf/h0 1，有

hi/h0hi

hi/h0 hf/h0hi hf

⑨

评分标准：本题16分．①②③⑤⑥⑦⑧⑨式各2分．

解法二：若仅考虑留在容器内的气体：它首先经历了一个绝热膨胀过程ab，再通过等容升温过程bc达到末态

绝热膨胀ab等容升温bc

(pi,V1,T0) (p0,V0,T) (pf,V0,T0)

其中，(pi,V1,T0),(p0,V0,T)和(pf,V0,T0)分别是留在瓶内的气体在初态、中间态和末态的压强、体积与温度．留在瓶内的气体先后满足绝热方程和等容过程方程

ab: pi 1T0 p0 1T

①②

bc: p0/T pf/T0

由①②式得

1/

③

④

pi p0 ghi

⑤⑥

pf p0 ghf

式中，p0 gh0为瓶外的大气压强， 是U形管中液体的密度，g是重力加速度的大小．由④⑤⑥式得

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ln(1

h

ln(1 i ln(1 fh0h0

hi

h0

⑦

利用近似关系式：当x 1, ln(1 x) x，以及hi/h0 1, hf/h0 1，有

hi/h0hi

hi/h0 hf/h0hi hf

⑧

评分标准：本题16分．①②式各3分，④⑤⑥⑦⑧式各2分．

三、（20分）

（1）平板受到重力PC、拉力QM0、铰链对三角形板的作用力NA和NB，各力及其作用点的坐标分别为：

PC (0, mgsin , mgcos )，(0,0,h)；

QM0 (0,Q,0)，(x0,0,z0)；

b

(,0,0)；NA (NAx,NAy,NAz)，2b

NB (NBx,NBy,NBz)，( ,0,0)

2

sin 0 F N N mgcos 0 M mghsin Q z 0

y

Ay

By

z

Az

Bz

x

①②③④

My NBz

bb NAz 022

⑤

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Mz Q x0 NAy

联立以上各式解得

bb NBy 022

⑥

Q

mghsin

，z0

NAx NBx，

NAy

mgsin 2

hb2x0 mgsin 1 ( )N ，By bzz0 20

hb2x0

1 b(z z

00

NAz NBz

即

1

mgcos 2

QM0 (0,

mghsin

,0)，

z0

⑦

mgsin

NA (NAx,

2NB ( NAx,

hb2x0 1

cos )， 1 (

bz0

hbcos ) 1 (

0 bz0

⑧

mgsin

2

⑨

（2）如果希望在M(x,0,z)点的位置从点M0(x0,0,z0)缓慢改变的过程中，可以使铰链支点对板的

hb2x

( ) 常量bzz

⑩

M或

b2x b 2x 0 z

z0z0

这是过A(,0,0)点的直线.

b2

(*)

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因此，当力QM的作用点M的位置沿通过A点任一条射线(不包含A点)在平板上缓慢改变时，铰链支点B对板的作用力NBy保持不变.同理，当力QM的作用点M沿通过B点任一条射线在平板上缓慢改变时，铰链支点A对板的作用力NAy保持不变.

评分标准：本题20分．第（1）问14分，①式1分，②③④⑤⑥式各2分，⑦⑧⑨式各1分；第（2）问6分，⑩ 式各1分，(*)2分，结论正确2分.四、（24分）

（1）考虑小球沿径向的合加速度.如图，设小球下滑至 角位置时，小 …… 此处隐藏：8315字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……