概率论期末总复习1

概率论期末总复习

第一章 随机事件和概率 1、 2、 3、 4、

频率与概率 古典概率定义 几何概率定义 主要公式

（1）P(A B) P(A) P(B) P(AB) AB 时，P(A B) P(A) P(B) （2）P(A B) P(A) P(AB)

B A时，P(A B) P(A) P(AB)

（3）P(A) 1 P(A) (4) P(B/A)

P(AB)

P(A)

—

(5) P(AB) P(A)P(B/A) P(B)P(A/B)

(6) 设A1A2...AN是完备事件组（即 的一个划分），P(B) P(Ai)P(B/A)

i 1n

(7)n重贝努利试验中，事件A发生K次的概率为 Pn(K) CP(1 P)

K

n

K

n K

,K 0,n 其中 P P(A)

_____

5、 主要例题：例1、例3、例4、例5、例6、例8、例9、例10、

例12、例13、例15、例16、例20、例22、例2 6、

主要习题：习题A 2~6、13～16、20～22、25

例1、 某仓库有一批产品，已知其中50%、30%、20%依次是甲、乙、

丙厂生产的，且甲、乙、丙厂产品的次品率分别为111

，101520

求这批产品的次品率。

解：设B＝｛从这批产品中任取一个是次品｝

A1、A2、A3分别表示“取得的产品是甲、乙、丙厂生产的”

则P(A1) 0.5,P(A2) 0.3,P(A3) 0.2 P(B/A1)

110,P(B/A115,P(B/A12) 3) 20

3

P(B) P(Ai)P(B/Ai)

i 1

0.5

110 0.3 1115 0.2 20

0.08

例２、已知P(A) 0.3,P(B) 0.5,P(A B) 0.8，

求（1）P(AB)；（2）P（A－B）；（3）P(__A__

B) 解：（1）由P(A B) P(A) P(B) P(AB)

得P(AB) P(A) P(B) P(A B) 0.3 0.5 0.8 0

（2）P(A B) P(A) P(AB) 0.3 0 0.3 （3）P(A__B__

) P(A_______

B) 1 P(A B) 1 0.8 0.2

第二章 随机变量及其分布

1、离散型分布列

P(X xi) Pi，i＝1，2，……

（1）

Pi 0 （2） Pi 1

i 1

2、分布函数 F(x) P(X x) 3、连续型概率密度函数f(x) F(x) x

f(t)dt

（1）f(x) 0 （2）

f(x)dx 1（3）P(a x b) b

af(x)dx F(b) F(a) （4）f(x) F'(

x) 4、常用离散型

（1）两点（0－1）分布 E（x）＝P，D（x）＝P（1－P） （2）二项分布X～B（n，p）

P(X k) Ck

Pk

n k

n

(1 P)

,(k 0,____

n)

E（x）＝np，D（x）＝np（1－p）

（3）泊松分布X～P( )

P(X K)

Ke

K!

，K＝0，1，2，…… 0

E（x）=D（x）＝ 5、常用连续型

（1）均匀分布X~U[a,b]

1

x [a,b]

f(x) b a

0 其它a b(b a)2

E（X) D(X)

212

（2）指数分布X~E[ ]

e x x 0

f(x)

0 x 0 11

E(X) D(X) 2

（3）正态分布X~N(u, 2)

P(a X b) (

b u

) (

a u

)

E(X) u, D(X) 2

（4）标准正态分布X～N（0，1）

(x)

1

2z

x

e

t2

2

dt

( x) 1 (x)

6、重要例题：例3、例5、例8、例9、例12、例13、例14、例15、例16、例3、例17

7、重要习题：P47 1、3、5、7、10、13、15、17、19、24 例1、设随机变量X的密度函数为

0 x 1 Kx

f(x)

其它 0

求：（1）常数K；（2）分布函数F（x） （3）P（0.5<x<2） （4）E（x），D（x）

解：（1）1

1

K f(x)dx 0Kxdx

2x2|1 K

02

，K＝2 （2）x 0时，F(x) x

x

f(t)dt 00dt 0

0 x 1时，F(x) x

f(t)dt x

2tdt t2|x

2

0 x x 1时， F(x) x1

f(t)dt 0

2tdt 1

0

x 0 F(x)

x2 0 x 1

1 x 1 （3）P(0.5 x 2) 2

1

3

0.5f(x)dx 0.25xdx x2|10.5

4

（4）E(x) xf1

2

(x)dx 0

x2xdx

3x3|120 3

E(x2) 1

2

x2f(x)dx 0

x22xdx

4x4|1 1

02

D(x) 1 (2)21

23

18

第三章 多维随机变量及其分布

一、二维离散型随机变量（x,y） 1、联合分布律P(X xi，Y yi) Pij 性质：（1）

Pij 0 （2） Pij 1

j 1i 12、边缘分布

Pi P(X xi) Pij P j P(Y yj) 1

Pij

j i 1

3、独立性 X与Y独立 Pij Pi P j 二、重要例题：例1、例4、例12 三、重要习题：P23 1、3

例1、设随机变量X和Y的分布律为

问 , 为何值时，X与Y独立？

解：（x，y）的边缘分布如上表，由独立特性得

112 3(19 )

9 解得 ＝9

111

1 3(18 ) 18

＝9第四章 随机变量的数字特征

一、数学期望

（1）E(X) xiPi 离散

i 1

－

xf(x)dx 连续

（2）设Y＝g（x），则 g(xi)PE(Y) i

i 1

g(x)f(x)dx（3）性质：E（C）＝C，E（ax+b）＝aE（x）＋b

E(X Y) E(X) E(Y)

X与Y独立时，E(XY) E(X)E(Y)

二、方差

（1）D(X) E[X E(X)]2

（2）简化公式：D(X) E(X2) (E(X))2 （3）性质：D（c）＝0，D(aX b) a2D(X)

X与Y独立时，D(X X) D(X) D(Y)

三、重要例题：例1、例3、例4、例5、例6、例9、例10、例15、例16、例18、例19、例21、例24

四、重要习题：P94 1、2、3、4、5、6、8、9