初中数学竞赛精品标准教程及练习51：待定系数法

初中数学竞赛精品标准教程及练习（51）

待定系数法

1.一、内容提要多项式恒等的定义：设f(x) 和g(x)是含相同变量x的两个多项式，f(x)≡g(x)表示这两

个多项式恒等.就是说x在取值范围内 ，不论用什么实数值代入左右的两边，等式总是成立的.

符号“≡”读作“恒等于”，也可以用等号表示恒等式. 例如：（x+3）2=x2+6x+9, 5x2－6x+1=(5x－1)(x－1),

x3－39x－70=(x+2)(x+5)(x－7).

都是恒等式.

根据恒等式定义，可求恒等式中的待定系数的值. 例如：

已知：恒等式ax2+bx+c=2(x+1)(x－2).

求：①a+b+c ； ②a－b+c.

解：①以x=1， 代入等式的左右两边，得a+b+c＝－4.

②以x=－1，代入等式的左右两边，得a－b+c＝0.

恒等式的性质：如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.

－－ 即 如果 a0xn+a1xn1+ +an－1x+an= b0xn+b1xn1+ +bn－1x+bn

那么 a0=b0 ， a1=b1， ， an－1=bn－1 ， an=bn.

上例中又解： ∵ax2+bx+c=2x2－2x－4.

∴a=2, b=－2, c=－4.

∴a+b+c＝－4， a－b+c＝0.

待定系数法：就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式，然后根据恒等式定义和性质，确定待定系数的值.

二、例题 2.3.

例1.x2 x 2ABC 已知： x(x 3)(x 2)xx 3x 2求：A，B，C的值.

解：去分母，得

x2－x+2=A(x－3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x－3).

根据恒等式定义（选择x的适当值，可直接求出A，B，C的值）， 当x=0时， 2＝－6A. ∴A＝－1.3

8当x=3时， 8＝15B. ∴B＝.15

4当x=－2时， 8＝10C. ∴C＝.5

本题也可以把等号右边的代数式，整理成为关于x的二次三项式，然后用恒等式性质：“左右两边同类项的系数相等”，列出方程组来解.（见下例）.

把多项式x3－x2+2x+2表示为关于x－1的降幂排列形式.

解：用待定系数法：

设x3－x2+2x+2=a(x－1)3+b(x－1)2+c(x－1)+d 例2.

把右边展开，合并同类项（把同类项对齐），

得 x3－x2+2x+2=ax3－3ax2+3ax－a

+bx2－2bx+b

+cx－c

+d

用恒等式的性质，比较同类项系数， a 1 a 1 3a b 1 b 2 得 解这个方程组，得 3a 2b c 2 c 3

a b c d 2 d 4

∴x3－x2+2x+2=(x－1)3+2(x－1)2+3(x－1)+4.

本题也可用换元法：

设x－1=y, 那么x=y+1.

把左边关于x的多项式化为关于y 的多项式，最后再把y换成x －1.

已知：4x4+ax3+13x2+bx+1是完全平方式.

求： a和b的值.

解：设4x4+ax3+13x2+bx+1＝（2x2+mx±1）2（设待定的系数，要尽可能少.）例3.右边展开，合并同类项，得

4x4+ax3+13x2+bx+1＝4x4+4mx3+(m2±4)x2±2mx+1.

比较左右两边同类项系数，得 a 4m a 4m 方程组 m2 4 13； 或 m2 4 13.

b 2m b 2m a 12 a 12 a 4 a －4解得 .或 或 或 b 6b 6 b 2 b 2例4.推导一元三次方程根与系数的关系.

解：设方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个根分别为x1, x2, x3.

原方程化为x3+b2cdx x 0. aaa

∵x1, x2, x3是方程的三个根.

∴x3+b2cdx x (x－x1) (x－x2) (x－x3). aaa

把右边展开，合并同类项，得

x3+b2cdx x =x3－( x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x－x1x2x3. aaa

比较左右同类项的系数，得

一元三次方程根与系数的关系是：

x1+x2+x3=－

c　b　d， x1x2+x1x3+x2x3＝， x1x2x3＝－. aaa

例5. 已知：x3+px+q 能被（x－a）2整除.

求证：4p3+27q2=0.

证明：设x3+px+q＝（x－a）2（x+b）.

x3+px+q=x3+(b－2a)x2+(a2－2ab)x+a2b.

b 2a 0① 2 a 2ab p②

a2b q③

2 p 3a 由①得b=2a， 代入②和③得 3 q 2a

∴4p3+27q2＝4（－3a2）3+27(2a3)2

=4×（－27a6）+27×（4a6）=0. （证毕）.

例6. 已知：f (x)=x2+bx+c是g (x)=x4 +6x2＋25的因式，也是q (x)=3x4+4x2+28x+5

的因式.

求：f (1)的值.

解：∵g (x),q (x)都能被f (x)整除,它们的和、差、倍也能被f (x)整除.

为了消去四次项，设g (x)－q (x)＝kf (x), (k为正整数).

即14x2－28x+70＝k (x2+bx+c)

14（x2－2x+5）＝k (x2+bx+c)

∴k=14, b=－2, c=5.

即f (x)=x2－2x+5.

∴f (1)=4 .

例7. 用待定系数法，求（x+y）5 的展开式

解：∵展开式是五次齐次对称式，

∴可设（x+y）5＝a(x5+y5)+b(x4y+xy4)+c(x3y2+x2y3) (a, b, c是待定系数.) 当 x=1,y=0时， 得a=1；

当 x=1,y=1时， 得2a+2b+2c=32，即a+b+c=16

当 x=－1,y=2时， 得31a－14b+4c=1.

a 1 得方程组 a b c 16

31a 14b 4c 1

a 1 解方程组，得 b 5

c 10

∴（x+y）5＝x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.

三、练习51

1. 已知　2x 3ab. 求a, b的值. 2x 6x 8x 2x 4

4x2 3x 5ABC 2. 已知：. 求：A，B，C的值. (x 1)2(x 2)x 1(x 1)2x 2

3. 已知： x4—6x3+13x2－12x+4是完全平方式.

求：这个代数式的算术平方根.

4. 已知：ax3+bx2+cx+d 能被x2+p整除.

求证：ad=bc.

5. 已知：x3－9x2+25x+13=a(x+1)(x－2)(x－3)

=b(x－1)(x－2)(x－3)

=c(x－1)(x+1)(x－3)

=d(x－1)(x+1)(x－2).

求：a+b+c+d的值.

6. 试用待定系数法，证明一元二次方程根与系数的关系（即韦达定理）.

7. 用x－2的各次幂表示3x3－10x2+13.

8. k取什么值时，kx2－2xy－y2+3x－5y+2能分解为两个一次因式..

9. 分解因式：①x2+3xy+2y24x+5y+3；

②x4+1987x2+1986x+1987.

10. 求下列展开式：

① (x+y)6； ② (a+b+c)3.

11. 多项式x2y－y2z+z2x－x2z+y2x+z2y－2xyz因式分解的结果是( )

(A) (x+y)(y－z)(x－z) . (B) (x+y)(y+z)(x－z).

(C) (x－y)(y－z)(x+z). (D) (x－y)(y+z)(x+z).

12. 已知( a+1)4=a4+4a3+6a2+4a+1, 若S=(x－1)4+4(x－1)3+6(x－1)2+4x－3.

则S等于( )

(A) (x－2)4 . (B) (x－1)4 . (C) x4 . (D) (x+1)4.

ax3 5x2 bx c13． 已知：3的值是恒为常数求：a, b, c的值. 2x 10x2 3x 4

练习51参考答案：

1. a=－711,b=－ 2. A=1,B=2,C=3 3. ± (x2－3x+2) 22

d) 5. 1 7. 3(x－2)3+8(x－2)2－4(x－2)－3 p4.由 (x2+p)(ax+

8. 先整理为关于x的二次三项式，并把常数项分解因式，再用待定系数法。

9. ①(x+y +1)(x+2y+3) ②(x2+x+1)(x2－x+1987)

10. ①x6+6x5y+15x4y2+20x3y3+15x2y4+6xy5+y6.

②x3+y3+z3+3(x2y+y2z+z2x+x2z+y2x+z2y)+6xyz.

11. (A) 12.(C) 13. a=1, b=1.5, c=－2.