苏教选修2-3_二项式定理及其应用ppt1

杨辉三角 ( a + b ) 0 = 11111111111111111111 1 ( a + b )1 = aaabbbbbbbbbbbbbbba+ b 1 ++++++++++++++1aabb b aaaaaaaaaaaaa ++ + + 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( a + b ) 2 = aaaa22222bbb1+2bbbbbbbbb b 2 ++++++++2 2bb 22222 ab + 1 aabab22 ab2 ababab + aababab2 ababab + aaaab aab a 2 +++ aa 2 aa 2 + ++2 ++ 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 22 22 22 2 3 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ( a + b ) 3 = aaaa333b+a33a333b+3b2b++2++2 bbbbb b 3 ++aaaab3b3b33a3ab++33b++2b3 2 2 + 1 +aa3a13ab+abab3bbb ab ++ +3 a3aab3ab++bbabab 3ab +3 +++ab33ab b333 +2 +a ++ ab a+2 abab + + +a33 3a+ + a ++2 4 4 4 4 4 3 3 3 4 3 3 23 232 2 2 2 2 2 2 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 ( a + b ) 4 = aaaa441+4a++ 64++++466b4b++4b4+3b3+ b 41 ++4 4b 4bbaa6666ab 32 4 ab abb + + aa4 a44b6 aaaab4 bab+ 3 4 + a ++aab3 +++aab +3+++ab ++aa4b+4b6 a6bbb bb42a2ab4b 4bab3bb b +3 a + b 2 2 2 +++2 ab 3 3 2 5 5 5 55 4 4 4 44 ( a + b ) 5 = aaa1 555b5510++310 bbb1010bab55555abbbb1 5 ++++aab + 10b 10 3 2 2 10b 32 32 2 3 3++4 ab 4 4 5 5 a+ +aaaa5ba b1010b a 210++210 b 3 babab 4b 5++5 b ++ baaa23 23 ++ aaaa+++ ab 4 ++ 5+

( a + b ) 6 = 1 6 + 6 a 5b + 15 a 4 b 2 + 20 a 3b 3 + 15 a 2 b 4 + 6 ab 5 + b 6 15 6 a 6 20 15 1

…………………………………………

n 0 n 1 n 1 r n r r n n (a 1、二项式定理： + b) = Cn a + Cn a b + + Cn a b + + Cn b 二项式定理：

通项(第r+1项): Tr +1 = Cnr a n r b r 2、二项式系数的性质： 二项式系数的性质： I.在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项 式 系数相等. Ⅱ.如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最 大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等 并且最大. Ⅲ.在二项展开式中，所有二项式系数的和等于 2 n;奇数项 的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于2 n 1.

1、在 ( x + 1)( x + 2) ( x + 10) 的展开式中 x 的系数是 559

.

(1 2i ) 5 的实部是 41 2、复数

,虚部是 38

. ,该项的二

3、在 ( x + 2 y )16 的展开式中 x 7 y 的系数是 480 项式系数是 1202k

.

4、在 ( x + y ) (k∈N)的展开式中二项式系数最大的项是第 k+1 项.2 4 6 8 5、C10 + C10 + C10 + C10 = 510

.

6、设 ( x 2)8 = a8 x 8 + a7 x 7 + + a1 x + a0 , 则 a8 + a7 + + a1 = -255

a , 8 + a6 + a4 + a2 = 3025

.

7、设 f ( x) = x 5 5 x 4 + 10 x 3 10 x 2 + 5 x + 1 ,则 f (x) 的反函数

f 1 ( x) 等于……………………………………………( B )A) 1 + 5 x B) 1 + 5 x 2i ) 12

C ) 1 + 5 x 2 D) 1 5 x 2

8、在

(

1 + 2

3 2

的展开式中，所有奇数项的和是 …(B )

A) 1

B) 1 B ) 4320B) 1

C) 0

D) i D ) 60D) 3

3 2 6 9、 (2 x + 3 y z ) 展开式中 x y z 的系数是 ……………(B )

A) 4320A) 0

C ) 60C) 2

10、 10 1 + 3 + 32 + + 399 被4除所得余数为 ………………(A )

1 2n 例1、(1)如

果 ( x + ) 的展开式中，第四项与第六项的 x

系数相等，求展开式中的常数项； (2)求 ( x 1 24 x )8 展开式中的所有有理项.

解题回顾◆ ◆◆

求常数项就是求x的零次幂的项； 的零次幂的项； 的项 求有理项就是求x的整数次幂的项. 的整数次幂的

1 ( + 2 x) n . 例2、巳知二项式 2

(1)若展开式中第五项、第六项、第七项的二项式 系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数； (2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79, 求展开式中系数最大的项。

解题回顾◆ ◆◆

注意区分三个概念： 项的系数、项的二项式系数； 注意区分三个概念：项、项的系数、项的二项式系数； 设 Tr + 1 的系数为 A r + 1,那么 A r + 1为最大的必要而不充分

的条件是： 的条件是：

Ar +1 ≥ Ar 且Ar +1 ≥ Ar + 2 .

1 n 例3、设 An = Cn a1 + Cn2 a2 + + Cn an .

an = 1 + q + q 2 + + q n 1 (n ∈ N , q ≠ 1), (1)若

试用q和n表示 An ; (2)若 an = 1 + 2 + 3 + + n(n ∈ N ), 试用n表示 An .

解题回顾◆

二项式定理实质上是一个恒等式， 二项式定理实质上是一个恒等式，而恒等式的应用 要善于利用二项式系数的性质 要善于利用二项式系数的性质，求解或证明有关的 二项式系数的性质，

要注意：正用、逆用和变形用. 要注意：正用、逆用和变形用.◆◆

组合关系式. 组合关系式.