北京市朝阳区2015届高三4月第一次综合练习数学(文科试题)

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北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学试卷（文史类）

2015．4

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项．

（1）已知全集{,,,}U a b c d =，集合{,},{,}A a b B b c ==，则

()U A B 等于 A ．{}b B ．{}d

C ．{,,}a c d

D ．{,,}a b c （2）已知命题:p x ?∈R ，sin 1x ≤，则

A ．:p ?x ?∈R ，sin 1x ≥

B ．:p ?x ?∈R , sin 1x >

C ．:p ?0x ?∈R , 0sin 1x ≥

D ．:p ? 0x ?∈R ，0sin 1x >

（3）若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线222x y -=的右焦点重合，则p 的值为

A

B ．2

C ．4 D

．（4）如图所示的程序框图表示的算法功能是

A ．计算123456S =?????的值

B ．计算12345S =????的值

C ．计算1234S =???的值

D ．计算1357S =???的值

（5）已知113log 2x =，1222

x -=，3x 满足3331()log 3x x =，则 A ．123x x x <<

B ．132x x x <<

C ．213x x x <<

D ．312x x x <<

第（4）题图

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（6）函数ππ()2sin()cos()66

f x x x =--图象的一条对称轴方程是 A ．π6x =

B. π3x =

C. 5π12

x = D. 2π3x =

（7）已知实数x ，y 满足20,20,0,x y x y y t +≥??-≤??≤≤?

其中0t >．若3z x y =+的最大值为5，则z 的最小值为

A ．52

B ．1

C ．0

D ．1- （8）已知边长为3的正方形ABCD 与正方形CDEF 所在的平面互相垂直，M 为线段CD 上的动

点（不含端点），过M 作//MH DE 交CE 于H ，作//MG AD 交BD 于G ，连结GH ．设CM x =(03)x <<，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥C GHM -的体积y 与变量x 变化关系的是

A B C D

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第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．

（9）i 为虚数单位，计算1i 1i

+-= ． （10）已知平面向量a ，b 满足1==a b ，

a 与

b 的夹角为60?，则()?+=a a b ．

（11）圆22:(2)(2)8C x y -+-=与y 轴相交于,A B 两点，则

弦AB 所对的圆心角的大小为

．

（12）一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，

则该四棱锥的体积是 ，四棱锥侧面中最大侧面的面积

是 ．

（13）稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入

不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用.适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：

（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额=（每次收入额－800）×20%×（1－30%）

（2）每次收入在4000元以上的：应纳税额=每次收入额×（1－20%）×20%×（1－30%）.

已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费(扣税前．．．

)为 元． （14）记12x x -为区间12[,]x x 的长度．已知函数2x

y =，x ∈[]2,a -(0a ≥)，其值域为[],m n ，则区间[],m n 的长度的最小值是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

（15）（本小题满分13分）

在ABC ?中，π3A =，cos B =，6BC =． （Ⅰ）求AC 的长；

（Ⅱ）求ABC ?的面积．

第（12）题图 正视图 侧视图 俯视图

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（16）（本小题满分13分）

某次考试结束后，为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况，随机抽取甲、乙两校各10名学生的考试成绩，得茎叶图如图所示（部分数据不清晰）： （Ⅰ）请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水 平较高（直接写出结果）；

（Ⅱ）若在抽到的这20名学生中，分别从甲、乙两校 随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，求抽到的学

生中， 甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率．

（17）（本小题满分14分）

如图，在三棱柱111C B A ABC -

中，各个侧面均是边长为2的

正方形，D 为线段AC 的中点． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面11A ACC ； （Ⅱ）求证：直线1AB ∥平面D BC 1； （Ⅲ）设M 为线段1BC

上任意一点，在

D BC 1内的平面区域（包括边界）是否存在点

E ，使

CE ⊥DM ，并说明理由．

（18）（本小题满分13分）

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a =，1n n a S +=，n *

∈N .

（Ⅰ）写出2a ，3a ，4a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅲ）已知等差数列{}n b 中，有22b a =， 33b a =，求数列{}n n a b ?的前n 项和n T ． A

B

C

D

A 1

B 1

C 1

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（19）（本小题满分14分） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为12(2,0),(2,0)F F -，

过焦点2F 的直线l （斜率不为0）与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交椭圆于,M N 两点．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）当四边形12MF NF 为矩形时，求直线l 的方程．

（20）（本小题满分13分） 已知函数()()e x a f x x x =+，a ∈R ．

（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；

（Ⅱ）当1a =-时，求证：()f x 在(0,)+∞上为增函数；

（Ⅲ）若()f x 在区间(0,1)上有且只有一个极值点，求a 的取值范围．

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北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学试卷答案（文史类）

2015.4

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

（15）（本小题满分13分）

（Ⅰ）因为cos B =，(0,)B ∈π，又22sin cos 1

B B +=， 所以sin B =

. 由正弦定理得，sin sin AC BC B A

=.

=所以

4AC =. ……… 6分

（Ⅱ）在ABC ?中，sin sin(60)C B =+

sin cos60cos sin 60B B =+

1sin 2B B =+ =12 =

6.

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所以1sin 2ABC S AC BC C ?=?=1462??

?6

=……13分 （16）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）从茎叶图可以看出，乙校10名学生的考试成绩的平均分高于甲校10名学生的考试成绩

平均分，故乙校的数学成绩整体水平较高． ……… 4分

（Ⅱ）设事件M ：分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学，抽到的学生中，

甲校学生成绩高于乙校学生成绩．

由茎叶图可 …… 此处隐藏：5042字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……