电磁场与电磁波chap4

第四章

静态电磁场求解

主要内容：静态的场唯一性定理 分离变量方法 Green函数方法 镜像原理

4.1

静态场的唯一性定理

1 静态电磁场的方程 静电场由电荷激发，电荷是静电场的通量源。 恒定磁场由恒定电流激发，电流是静态磁场的 涡旋源。静态电磁场与时间无关，具有相同的 基本特性。 ① 静态电磁场与时间无关，属于时不变场， 数学上满足同一类方程(Poisson方程) 2 r

r

κ为介质的电磁特性参数

② 静态电磁场(恒定电流磁场源区)具有 无旋特性，可以用标量函数(称为位函 数或势函数)的梯度来表示，即

F r r ③ 在介质的分界面上，位函数满足 1 r | 2 r | S S 2 s 1 n S n S

静态电磁场的定解问题为： r 2 r r r | M ,或 = M | 边界 边界 n

n

r

r

2 唯一性定理

设在区域V内源已知，在区域的边界S上： r |边界 M

或

r M | 边界 n

已知(M为边界上

的变点)。则在区域V内存在唯一的解， 它在该区域内满足Poisson方程；在区域 的边界上满给定的边界条件。称为静态电

磁场的唯一性定理。

设r E1 r A1 3 rr E 2 r A2 3 r

两个同心导体球壳之 间充满两种介质。内 导体带电，电荷量为Q, 外导体球壳接地。

E1t E2tD1n D2n

Q D dS 1 E1 dS 2 E 2 dS Q A 2π 1 2 S S1 S2

4.2 分离变量方法分离变量方法又称为Fourier级数方法。其实 质是通过变量分离将原来的偏微分方程变为 含有待定参数的常微(本征值)方程，求解 本征值方程得到本征值和本征函数。利用本 征函数的完备性展开表示待求函数；把求待 求函数的问题转化为求展开系数。通过边界 条件等确定展开的系数，从而求出问题的解

【例4-1】长方形盒的长为A、宽为B、高为C,上盖

电位为 0 ,其余接地，求盒内的电位分布。 2 r 0 0, y, z 0, A, y , z 0 x,0, z 0, x, B, z 0 x, y,0 0, x, y , C 0C

0

r X x Y y Z z 1 d 2 X 1 d 2Y 1 d 2 Z 0 2 2 2 X Y Z d x d y d z A, y , z 0, y , z 0 X A X 0 0 x , B , z x ,0, z 0 Y B Y 0 0 x , y ,0

0 Z 0 0A

B

d2 X 2 k X x 2 dx X 0 X A 0nπ X x A sin x 1 A mπ Y y A2 sin y B

d 2Y 2 l Y x 2 dy Y 0 Y B 0

d 2 Z 2 p 2 Z z dz Z 0 0

, ,

nπ A mπ l A k

, n 1,2,3, , m 1,2,3,

k 2 l 2 p2 0 n m nπ mπ x , y , z Cnm sin xsin ysinh πz A B A B n ,m 1 2 2

Z z Ckl sinh k 2 l 2 zCmm 16 0 n 2 m 2 m nπ sinh πC A B 2

上述求解过程，归纳分离变量方法的基本程序如下： ① 提炼出定解问题的数学表达式，即方程和边界条件；

② 根据边界条件选取适合变量分离的正交坐标系；③ 把方程和边界条件进行变量分离，得到本征值方程； ④ 求解本征值方程，确定本征值和本征函数； ⑤ 根据线性叠加原理，由本征函数构造定解问题的解； ⑥ 利用边界条件确定展开系数， 验证解的正确性。

【例4-2】无穷长导体圆筒，半径为a,厚度 可以忽略不计。圆筒分成相等的两个半片， 相互绝缘。其中的一半的电位为 V0 ,另一 半电位为 V0 ,求圆筒内的电位分布。 2 1 1 2 0 r r r r r 2 2 r a , V0 , 0 π a , V , π 2π 0

V0

V0

r , 2nπ r , lim r , 有限值 r 0

r R r Φ Φ n 2 Φ 0 Φ 2nπ Φ cosn Φ sinn , d dR 2 r n R 0 r dr dr lim R r 有限值 r 0

n 0,1,2,3, R r

a0 b0 ln r n n a n r bn r

,

当n 0 当n 0

r , r n An cos n Bn sin n n 0

V0 a , a An cosn Bn sinn n 0 V0 n

, ,

0 π π 2π

4V r , 0 π

1 r 2 k 1 a n 0

2 k 1

sin 2k 1

4.3 Green 函数方法 r dV d r r dV ' '

以电荷产生电位为例

4 π r r '

1 4 π r r '

V上体电荷在空间产生的电位是全体 电荷元产生电位的 叠加，表示为： r ' dV ' '

dV r G r, r r ' V 4 π r r V

小电荷元在 r 点产生的电位

1 Green 函数方法的基本思想

上述分析说明，只要点电荷元 r dV 在空间 的电位求得，任意电荷分布的电位即可知。 此即Green函数的基本思想。因此一个复杂的 静电场问题就可以通过先求解小电荷元的电 位而获得最终的。而小电荷元的电位的求解 又归结为单位点电荷的电位，即Green函数 的 G(r, r ' ) 求解。

2 Poisson方程的Green函数 r 2 r M h M n 1 2 ' ' G r , r r r ' G r, r ' G r, r 0 n

应用 当 得

2 ( )d V dS V S

G r ' , r G r , r ' 0 G (r ' , r ) G (r, r ' ) 0 ' ' n n' ' G( r, r ) r r G r, r dV h r ds ' s n V ' '

r