【精品一轮 特效提高】2014高考总复习(理数)-题库：12.6 离散型

12.6 离散型随机变量的均值与方差

一、选择题

1．若随机变量X的分布列如下表，则E(X)等于( )

11A. B.189209C.920

1解析 由分布列的性质可得2x＋3x＋7x＋2x＋3x＋x＝1，∴x＝.∴E(X)＝0×2x

1820

＋1×3x＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5x＝40x＝9答案 C

1

2．某班有5名同学，那么其中数

41

学成绩优秀的学生数X～B 5， ，则E(2X＋1)等于( )

4 55

A.427C．3 D.2

1 55

解析 因为X～B 5， ，所以E(X)＝E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×＋1＝

4 44 7

2

3．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则E(η)，D(η)分别是( )． A．6和2.4 B．2和2.4 C．2和5.6 D．6和5.6

解析 若两个随机变量η，X满足一次关系式η＝aX＋b(a，b为常数)，当已知

E(X)、D(X)时，则有E(η)＝aE(X)＋b，D(η)＝a2D(X)．由已知随机变量X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，

D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4. 答案 B

4．已知X的分布列为

则在下列式子中：①E(X)＝－；②D(X)＝；

3271

③P(X＝0)＝3正确的个数是( )．

A．0 B．1 C．2 D．3 111

解析 E(X)＝(－1)×

263

D(X)＝ －1＋2×＋ 0＋ 2× 1＋2×＝，故②不正确． 由分布列知③正确．

1 3

12

1 3

13

1 3

1659

5．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，a、b、c∈(0,1)，且无其他得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab的最大值为( ) 11A.482411C.126

解析 依题意得3a＋2b＋0×c＝1，∵a＞0，b＞0，∴3a＋2b≥26ab， 即26ab≤1，∴ab≤答案 B

6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )． A．100 B．200 C．300 D．400

解析 种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B(1 000,0.1)，∴E(ξ)＝1 000×0.1＝100， 故需补种的期望为E(X)＝2·E(ξ)＝200. 答案 B

7．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为( )．

A．5 B．5.25 C．5.8 D．4.6 解析 由题意可知，X可以取3,4,5,6，

123

当且仅当3a＝2b即a＝，b＝时等式成立． 2455

11C233

P(X＝3)＝3＝，P(X＝4)＝3

C620C620C23C2145

P(X＝5)＝3＝，P(X＝6)＝3C610C62由数学期望的定义可求得E(X)＝5.25. 答案 B 二、填空题

8. 某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假

p，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记 为该毕业生得到面试得公司个数。

若

的数学期望

E

答案9．已知离散型随机变量X的分布列如右表，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，

b＝________.

1

解析 由题意知 －a＋c＋0，

6

a＋c＋11， 3

a＋b＋c＝1112

1解得 b＝4 c＝1 4

a＝512

答案

51124

10．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：

请小牛同学计算ξ字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案

E(ξ)＝________.

解析 令“？”为a，“！”为b，则2a＋b＝1.又E(ξ)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋

b)＝2. 答案 2

11．袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，每次摸取一个球记下颜色后放回，现连续取球8次，记取出红球的次数为X，则X的方差D(X)＝________.

1

解析 每次取球时，红球被取出的概率为8次取球看做8次独立重复试验，

211 1

红球出现的次数X～B ，8 ，故D(X)＝8×2.

22 2 答案 2

12．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望E(ξ)＝________.

3

解析 因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为，

53

连续摸4次(做4次试验)，ξ为取得红球(成功)的次数，则ξ～B 4，，

5

312

从而有E(ξ)＝np＝4×＝.

55答案

125

三、解答题

13．某品牌汽车的4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行了统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.2，且4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润.

(1)若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分3期付款”的概率P(A)； (2)求η的分布列及其数学期望E(η)．

解析 (1)由题意可知“购买该品牌汽车的3位顾客中有1位采用分3期付款”的概率为0.2，所以

2P(A)＝0.83＋C13×0.2×(1－0.2)＝0.896.

(2)由

a100

0.2得a＝20，

∵40＋20＋a＋10＋b＝100，∴b＝10. 记分期付款的期数为ξ，依题意得：

P(ξ＝1)＝

402020＝0.4，P(ξ＝2)＝＝0.2，P(ξ＝3)＝＝0.2，P(ξ＝4)100100100

10

＝0.1， 100

P(ξ＝5)＝

10

0.1. 100

由题意知η的可能取值为：1,1.5,2(单位：万元)．

P(η＝1)＝P(ξ＝1)＝0.4，

P(η＝1.5)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.4； P(η＝2)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2. ∴η的分布列为：

∴η的数学期望E(η)＝1×0.4＋1.5×0.4＋2×0.2＝1.4(万元)．

14．如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：

(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的

路径？

(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X的分布列和数学期望．

解析 (1)Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i＝1,2. 用频率估计相应的概率可得

P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5， ∵P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1；

P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9， ∵P(B2)＞P(B1)，∴乙应选择L2.

(2)A，B分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站， 由(1)知P(A)＝0.6，P(B)＝0.9，又由题意知，A，B独立， ∴P(X＝0)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.4×0.1＝0.04，

P(X＝1)＝P(AB＋AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B) ＝0.4×0.9 …… 此处隐藏：2778字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……