4[1].3洛必达法则

微积分 第四章

4.3洛必达法则 一,不定式

(L'Hospital,1661-1704)

两个无穷小量或两个无穷

大量的商的极限 , 随着无穷小量或无穷大 量的形式不同 , 极限值可能存在,也可能 不存在,可能是无穷小量,也可能是无穷 大量 , 为此, 我们称这类极限为"不定型", 0 ∞ 或 . 记为: 0 ∞

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不定型的极限以下各类极限称为不定型的极限:

0 , 01 ,∞

∞ , ∞0 ,0

0∞ ,

∞∞,

∞ .0

其中 , 0 表示无穷小量;

∞ 表示无穷大量 ;

1 表示以 1 为极限的变量 .

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0∞

∞∞取 对 数 法

倒数法

0 0 ∞ ∞

1

∞

0

0

∞

0

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二. 洛必达法则洛必达 (L'Hospital,1661-1704)

定理1 定理

; 设(1) 当x → a时,函数 f ( x) 及 F( x) 都趋于零 (2) 在a 点的某领域内 a 本身可以除外 f ′( x) (点 ), 及 F′( x) 都存在且F′( x) ≠ 0; f ′( x) (3) lim ( ); 存在 或为无穷大 x→a F′( x) f ( x) f ′( x) 那末lim = lim . x→a F( x) x→a F′( x)

0 ( ) 0

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f ( x) ( x → a )的极限与 f (a )及g (a )无关 , 所以定义 证 Q g( x ) f ( x), x ≠ a F ( x), x ≠ a , F1 ( x) = , 辅助函数 f1( x) = x=a x=a 0, 0,在 U 0 (a , δ ) 内任取一点 x , 在以 a 与 x 为端点的区间上 ,f1 ( x ), F1 ( x )满足柯西中值定理的条 件,则有

f ( x ) f ( x ) f (a ) f ′(ξ ) = = F ( x ) F ( x ) F (a ) F ′(ξ ) (ξ在x与a之间) f ′(ξ ) f ′( x ) = A, = A, ∴ lim 当x → a时,ξ → a , Q lim ξ → a F ′(ξ ) x → a F ′( x ) f ( x) f ′(ξ ) ∴ lim = lim = A. x→a F ( x ) ξ → a F ′(ξ )

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f ′( x ) f ( x) lim = ∞ lim = ∞ 的证明 x → a g ′( x ) x →a g ( x )

只需证 G > 0, δ G > 0, 只要 0 < x a < δ G ,f ( x) 就有 >G g( x )

f ′( x ) lim =∞ x → a g ′( x )

G > 0, δ G > 0, 只要 0 < | x a |< δ G , f ′( x ) 就有 >G g ′( x )

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因为 F ( a ) = 0 , G ( a ) = 0 , 又当 x ≠ a 时 , F ( x ) = f ( x ), G ( x ) = g ( x ), 于是有

利用柯西定理, 利用柯西定理,有f ( x ) F ( x ) F ( x ) F (a ) f ′(ξ ) = = = g( x ) G( x ) G ( x ) G (a ) g ′(ξ )

ξ 介于 x 与a 之间

f ′(ξ ) >G g ′(ξ )

于是 , G > 0, δ G > 0, 只要 0 < x a < δ G , f ( x) 就有 >G 证毕 g( x )

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这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.

其 极 过 ,如 x →∞时该 则 然 立 他 限 程 当 , 法 仍 成 .x3 3x + 2 . 例1 求 lim 3 2 x →1 x x x + 1 3 x2 3 解 原式 = lim 2 x →1 3 x 2 x 16x 3 = lim = . x →1 6 x 2 2

0 ( ) 0

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tan 2 x 例2 求 lim . x→ 0 → x

0 ( ) 0

2 sec 2 2 x 解 原式 = lim (tan 2 x )′ = lim x→0 ( x )′ x→ 0 → 1

= 2.

sin ax 例3 求 lim . (0) x→ 0 sin bx → 0解

a cos ax a 原式 = lim = . x → 0 b cos bx b

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π例4 求 lim 2x → +∞

arctan x 1 x .

0 ( ) 0

x sin x . 例5 求 lim 3 x →0 x解

1 2 x2 解 原式 = lim 1 + x =

lim = 1. 2 x → +∞ 1 x → +∞ 1 + x 2 x0 ( ) 0

sin x 1 cos x ( 0 ) lim 原式 = lim 0 = x→0 6 x 2 x →0 3x

1 = 6

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注意: 使用罗必塔法则必须验证条件, 注意: 1) 使用罗必塔法则必须验证条件,不是 定式不能用罗必塔法则; 未 定式不能用罗必塔法则; 2)罗必塔法则可以连续应用,必须步步化 罗必塔法则可以连续应用, 罗必塔法则可以连续应用 尽可能地化简), ),步步验证求未定式 简(尽可能地化简),步步验证求未定式 的极限. 的极限

tan x sin x 例6 lim 2 x→0 x sin x tan x sin x 原式 = lim x →0 x2 x 2 (tan x) + 1 cos x = lim 2 x →0 3x

1 = 2

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∞ 定理2 定理 ( ) ∞

; 设(1) 当x →a时,函数 f ( x) 及 F( x) 都趋于无穷 (2) 在a 点的某领域内点a 本身可以除外 f ′( x) ( ), 及 F′( x) 都存在且F′( x) ≠ 0; f ′( x) ( ); (3) lim 存在 或为无穷大 x→a F′( x) f ( x) f ′( x) . 那末lim = lim x→a F( x) x→a F′( x)

. 当x →∞时,该法则仍然成立 该法则仍然成立

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tan x . 例8 求 lim π tan 3 x x→2

∞ ( ) ∞

sec2 x 1 cos 2 3 x 解 原式 = lim = lim 2 π 3 sec 3 x 3 x → π cos 2 x x→2 2

1 6 cos 3 x sin 3 x sin 6 x = lim = lim π 2 cos x sin x π 3 x→ x → sin 2 x22

6 cos 6 x = 3. = lim π x → 2 cos 2 x2

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注意3:若导数比的极限不存在, 注意 :若导数比的极限不存在,不能判断 原函数极限不存在. 例如, 例如

1 cos x x sin x = lim lim x → ∞ 1 + cos x x → ∞ x + sin xsin x 1 x lim = 1 x → +∞ sin x 1+ x

事实上

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x [例9] 求极限 lim x ( n ∈ N ) x →+∞ e n n 1 x nx [解] lim x = lim 解 x x → +∞ e x → +∞ e

n

∞ " " ∞

n( n 1) x = lim x x → +∞ e

n 2

n! ! = lim x = 0 x→+∞ ex n x n

[小结 ]:当 x → +∞ 时, e 是比 x 更高阶 的无穷大量 , e 是比 x 更高阶的 无穷小量 .

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ln x [例10] 求极限 lim α x →+∞ x1 x

(α > 0)

1 ln x = lim =0 [解] xlim α = xlim 解 → +∞ α x → +∞ α x → +∞ α x α 1 x α [小结]:当 x → +∞ 时, x (α > 0)是比

ln x 更高阶的无穷大量 .[ 小结 ] :当 依次升高 x → +∞ 时 , 下列无穷大量的阶

ln x, x (α > 0), a (a > 1)α

x