概率论与数理统计测试题及答案1

概率论与数理统计测试题

一、填空题(每小题3分，共15分)

1．将3个小球随机地放到3个盒子中去，每个盒子都有1个小球的概率为__________. 2．设A，B是两事件，P(A) 1/4,P(B|A) 1/3，则P(AB) __________.

3．掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和是5，则其中有一颗是1点的概率是__________. 0,x 1

4．设随机变量X的分布函数为F(x) lnx,1 x e，则X的概率密度为__________.

1,x e

5．设总体X~U[0，1]，X1,X2,X3是其一个样本，则P{max(X1,X2,X3) 1/2} __________. 二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．设两事件A与B互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则( )正确. （A）A与B互不相容; （B）P(AB) P(A)P(B); （C）P(AB) P(A)P(B); （D）P(A B) P(A).

2．一种零件的加工由两道工序完成，第一道工序、第二道工序的废品率分别为p，q，设两道工序的工作是独立的，则该零件的合格品率是 ( )

（A）1 p q；(B) 1 pq； (C) 1 p q pq；(D) (1 p) (1 q). 3．设X~t(n),则X2服从 ( )分布

(A) (n)； （B）F(1,n)； （C）F(n,1)； （D）F(1,n 1). 4．设随机变量X与Y的协方差Cov(X,Y) 0,则下列结论正确的是 ( ) (A) X与Y独立； （B）D(X Y) D(X) D(Y); （C）D(X Y) D(X) D(Y)； (D) D(XY) D(X)D(Y)

1

n

i

2

5.设X1,X2, ,Xn为来自正态总体N( , )的一个样本，X,S( 为样本均值和样本方差，则下面结论中不正确的是 ( ) (A)X~N( ,

22

(Xn 1

i 1

X))分别

2

2

n

);(B)E(S) ;(C)E(S)

222

nn 1

; (D)(n 1)S2/

22

~ (n 1).

2

三、解答题（6个小题，共60分） 1．（10分）设一仓库中有10箱同样规格产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别为5箱、3箱、2箱，三厂产品的废品率依次为0.1、0.2、0.3，从这10箱产品中任取一箱，再从该箱中任取一件产品.(1)求取到的产品为废品的概率；(2)若已知取到的产品为废品，求该废品是由甲厂生产的概率.

2．（10分）对一批次品率为0.1的产品进行重复抽样检查，现抽取3件产品，以X表示抽取的3件产品中次品的件数，试求（1）X的分布律；（2）至少有一件是次品的概率. asinx,0 x

，3．（12分）设连续型随机变量X的概率密度为f(x) 求：（1）系数a; (2)

,其它 0

分布函数F(x);(3)P{ /4 X /2}. 4．（8分）设二维随机变量(X,Y)的分布律为

求X与Y的协方差Cov（X，Y）及P{X +Y 1}. 5．（10分）设随机变量(X,Y)的概率密度为

6y,0 y x 1

f(x,y)

0,其它

（1）试求关于X及Y的边缘概率密度；（2）判断X与Y是否相互独立，并说明理由. ( 1)x

6．（10分）设总体X的概率密度为f(x; )

0

,0 x 1,其它

，其中 ( 1)是未知

参数，X1,X2, ,Xn是X的样本，求参数 的矩估计量与最大似然估计量. 四、证明题（2个小题，共10分）

1． （5分）设随机变量X～N（0，1），证明随机变量Y X ( 0)～N( , ).

(X1 X2) (X3 X4)

2

22

2

2

2．（5分）设X1,X2,X3,X4是来自总体N( , )的样本，证明Y 服从 分布，并写出自由度.

2

2

一、填空题(每小题3分，共15分)

1/x,1 x e

1．2/9；2．1/12；3．1/2；4． f(x) ；5．1/8.

0,其它

二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．（D）2． (C)；3．（B）；4．（B）；5. (C).

三、解答题（6个小题，共60分）

1．（10分）解： A1,A2,A3分别表示取得产品是甲、乙、丙厂生产的，B表示取出的产品为废品，

P(A1)=0.5，P(A2)=0.3，P(A3)=0.2，P(B|A1)=0.1，P(B|A2)=0.2，P(B|A3)=0.3 ………3

分

(1) P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) ………5

分

=0.5 0.1+0.3 0.2+0.2 0.3=0.17 ………7

分

P(A1)P(B|A1)

P(B)

0.5 0.10.17

517

(2)P(A1|B)

0分

0.29 ………1

2．（10分）解：

kk3 k

(k 0,1,2,3) ………3(1) X～b(3，0.1)， P{X k} C30.10.9

分

………

7分

(2)P{X 1}=1

P{X=0}=0.271 ………10分 3．（12分）解：

（1） asinxdx 1 a

－

12

; ………3

分

（2）F(x) 分

x

f(t)dt ………6

,x 0,x 0 0 0

x

1 cosx 1

sintdt,0 x ,0 x ………10

02 2 1

,x 1,x 分

(3)P{ /4 X /2}

2

1

2

sinxdx

4

4

分

4．（8分）解： E（X）＝0.5，E（Y）＝0.3，E（XY）＝0.1 分

Cov（X，Y）＝E（XY）－E（X）E（Y）＝－0.05 分

P{X +Y 1}=0.2＋0.4＋0.1=0.7 5．（10分）解： x（1）fX(x)

f(x,y)dy

0

6ydy,0 x 1

3x2,0 x 1

0

,其它 0,其它1f Y(y)

f(x,y)dx

6ydx,0 y 1

y

6y(1 y),0 y 1

0

,其它 0,其它（2）X与Y不相互独立，因为f(x,y) fX(x)fY(y) 6．（10分）解 （1）矩估计量 1 E(X)

1 10

x ( 1)x

dx

2

1 2 1

1 2X

1 1X 1

(2) 最大似然估计量

对于给定样本值x1,x2, ,xn,似然函数为

n

n

L( )

f(x

n

i; )

( 1)x

i

( 1)(x1x2 xn),0 xi 1i 1

i 1

n

lnL( ) nln( 1) lnxi，

dlnL( )

n

n

i 1

d

1

lnx

i

0 i 1

………12

………4………6

………8分 ………4分 ………8分 ………10分 ………3分

………5分

………7分

………8分

nn

i

n

n

lnx

i 1

i

n

，最大似然估计量为

lnX

i 1

i

i

n

………10分

lnx

i 1

lnX

i 1

四、证明题（2个小题，共10分） 1．证明 ：X

的概率密度为fX(x)

x

2

2

, ………1分

y

1

函数y x ,y 0,y ( , )，x

(y u)2

22

h(y),h (y)

, ………3分

fY(y) fX[h(y)]|h (y)|

Y~N( , ). …… 此处隐藏：1213字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……