《复变函数与积分变换》(华中科技大学第二版)高等教育出版社课件

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F ( s) = ∫

+∞ 0

f ( t )e st d t

变换。 称为 f(t)的Laplace变换。 ( ) Laplace变换1 t > 0 Laplace变换 变换。 例1 求 f ( t ) = 的Laplace变换。 0 t < 0

解

F ( s) = ∫=∫+∞ 0 st

+∞0

f ( t )e st d t

1 st +∞ 1 e dt = = e s 0 s

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Laplace变换 变换。 例2 求 f ( t ) = e kt 的Laplace变换。 解F ( s) = ∫ =∫+∞ 0 +∞ 0

f ( t )e st d t

e kt e st d t

1 1 ( k s )t +∞ e = = sk ks 0

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例3 求 f ( t ) = sin kt 的Laplace变换。 Laplace变换。 变换 解F ( s) = ∫+∞

+∞ e = 2 s sin kt k cos kt ) 2 ( s +k 0 k = 2 2 s +k Laplace变换为 同理 f ( t ) = cos kt 的Laplace变换为 s F ( s) = 2 2 s +k st

=∫

+∞ 0

0

f ( t )e st d t

e

st

sin kt d t

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Laplace逆变换 Laplace逆变换 Laplace变换为 已知 f ( t ) 的Laplace变换为 F ( s ) ,如何反 过来求 f ( t )? 定理 若 F ( s ) 有孤立奇点 s1 , s2 ,L , sn , 则= res F ( s ) e + res F ( s ) e + L + res F ( s ) est st s = s1 s = s2 s = sn

f (t)

st

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s Laplace逆变换 逆变换。 例4 求 F ( s ) = 2 的Laplace逆变换。 s +1 s 解 有两个奇点： 有两个奇点： s = ± j , 2 s +1 st st se se f ( t ) = res 2 + res 2 s= j s + 1 s = j s + 1

se = s+ jjt

st

se s= j + s j jt

st

s = j

e +e = 2

= cos t

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1 Laplace逆变换 逆变换。 例5 求 F ( s ) = 2 的Laplace逆变换。 s ( s + 1) 1 解 有两个奇点：s = 0, s = 1 有两个奇点： 2 s ( s + 1) e st e st f ( t ) = res 2 + res 2 s = 0 s ( s + 1) s =1 s ( s + 1 ) st st st e st ′ te ( s + 1) e e t = + 2 s=1 = s=0 s s=0 + e 2 s +1 ( s + 1)= t 1+ et

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1 Laplace逆变换 逆变换。 例5 求 F ( s ) = 2 的Laplace逆变换。 s ( s + 1) 1 s +1 s 1 1 另解 2 = 2 = 2 s ( s + 1) s ( s + 1) s s ( s + 1) 1 s +1 s 1 1 1 = 2 = 2 + s s ( s + 1) s s s+1e e e F ( s) e = 2 + s s s+1 st ′ st st f (t) = e s=0 e s=0 + est st st st

( )

s =1

= t 1+ e

t

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Laplace变换的性质： Laplace变换的性质： 变换的性质F ( s) = ∫+∞ 0

f ( t )e st d t

( 1) ( 2)

∫∫

+∞ 0 +∞ 0

′( t )e st d t = sF ( s ) f ( 0 ) ff ′′( t )e st d t = s 2 F ( s ) sf ( 0 ) f ′ ( 0 )

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Laplace变换与其逆变换的应用 Laplace变换与其逆变换的应用 求解常系数微分方程。 求解常系数微分方程。 例6 求 y′ y = e 2t 在 y ( 0 ) = 0 下的特解。 下的特解。 Laplace变换为 解 设 y = f ( t ) ,其Laplace变换为 F ( s ) 对方程两边同时取Laplace变换，有 对方程两边同时取Laplace变换， Laplace变换 1 sF ( s ) f ( 0 ) F ( s ) = s2 1 1 1 F ( s) = = ( s 1) ( s 2 ) s 2 s 1

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对方程两边同时取Laplace变换， 对方程两边同时取Laplace变换，有 Laplace变换 1 sF ( s ) f ( 0 ) F ( s ) = s2 1 1 1 F ( s) = = ( s 1) ( s 2 ) s 2 s 1 再对方程F(s) Laplace逆变换 逆变换， 再对方程F(s)取Laplace逆变换，得y = f ( t ) = e st2t

e st s=2t

s =1

=e e

为原方程的特解。 为原方程的特解。