数学建模__综合题目参考答案

综合题目参考答案

1. 赛程安排(2002年全国大学生数学建模竞赛D题)

(1)用多种方法都能给出一个达到要求的赛程。

(2)用多种方法可以证明n支球队“各队每两场比赛最小相隔场次r的上界”

n 3 (如n=5时上界为1)是 ，如: 2

设赛程中某场比赛是i，j两队， i队参加的下一场比赛是i，k两队(k≠j)，

要使各队每两场比赛最小相隔场次为r，则上述两场比赛之间必须有除i，j，k

n 3 以外的2r支球队参赛，于是n 2r 3，注意到r为整数即得r 。 2

(3)用构造性的办法可以证明这个上界是可以达到的，即对任意的n编排出达

到该上界的赛程。如对于n=8， n=9可以得到:

可以看到，n=8时每两场比赛相隔场次数只有2，3，4，n=9时每两场比赛

相隔场次数只有3，4，以上结果可以推广，即n为偶数时每两场比赛相隔场次数

只有nnnn 3n 1，。 2， 1，，n为奇数时只有22222

(4)衡量赛程优劣的其他指标如

平均相隔场次 记第i队第j个间隔场次数为cij，

nn 21i 1,2, ,n,j 1,2, n 2，则平均相隔场次为 cij n(n 2)i 1j 1

是赛程整体意义下的指标，它越大越好。可以计算n=8，n=9的，并讨

论它是否达到上界。

相隔场次的最大偏差 定义

f Maix,j|cij |

g Max| cij (n 2)|

j 1n 2

f为整个赛程相隔场次的最大偏差， g为球队之间相隔场次的最大偏差，

它们都是越小越好。可以计算n=8，n=9的f，g，并讨论它是否达到上界。

参考文献工程数学学报第20卷第5期2003

2. 影院座位设计

建立满意度函数f( , )，可以认为 和 无关， f( , ) g h ，g，

h取尽量简单的形式，

如g( ) ;h( ) 0( 300)，h( ) h0( 300)。

(1)可 300将作为必要条件，以 最大为最佳座位的标准。

在上图

坐标原点建

到 中以第1排座位为立坐标轴x，可以得

arctan H c xtan H c xtan H c h xtan , arctan arctan x dx dx d

是x的减函数。可得x≈1.7m，即第3(或4)排处 300。又通过计算或分析

可知 也是x的减函数，所以第3(或4)排处是最佳座位。

(2)设定一个座位间隔l(如0.5m)， x从0(或 300处)到D d按l离散，对

于 (00~200)计算 的平均值，得 200时其值最大。

(3)可设地板线是x的二次曲线ax bx2，寻求a，b使 的平均值最大。

实际上，还应考虑前排不应挡住后排的视线。

3.节水洗衣机(1996年全国大学生数学建模竞赛B题)

该问题不要求对洗衣机的微观机制(物理、化学方面)深入研究，只需要从宏

观层次去把握。宏观上洗衣的基本原理是用洗涤剂通过漂洗把吸附在衣物上的污

物溶于水中，再脱去污水带走污物;洗衣的过程是通过“加水——漂洗——脱水”

程序的反复运行，使残留在衣物的污物越来越少，直到满意的程度;洗涤剂也是

不希望留在衣物上的东西，可将“污物”定义为衣物上原有污物与洗涤剂的总和。

假设每轮漂洗后污物均匀地溶于水中;每轮脱水后衣物含水量为常数c。x0~

初始污水量， uk~第k轮加水量，xk~第k轮脱水量(k 1,2, ,)。设每轮脱水前后污物在水中的浓度不变。于是x0x1xxxx ,1 2, ,n 1 n， u1cu2 ccun 1 cc

xncn

得到 。 x0u1(u2 c) (un c)

在最终污物量与初始污物量之比xn/x0小于给定的清洁度条件下，求各轮加

水量uk(k 1, ,n)，使总用水量最小，即

Minuk uk

k 1n

cn

s.t. u1u2 c (un c)

等价于

Minuku1 (u2 c) (un c)

s.t.u1(u2 c) (un c)

a为常数可得u1 u2 c un c，即第2~n轮加水量uk u(常数)，第

1轮加水量u1 u c。

令u cx，问题简化为

Minn,unx

1 s.t. 1 x

n

其解为x 0，即u 0，而n 。这与实际上是不合理的。应该加上对u

的限制: v1 u v2。则得nmi nn nmax，其中 nmi nn nma，

nmin 1这样，n为有限的几个数，可一一比较，具体数据计算从ln(1 v/c)2

略。

参考文献:《数学的实践与认识》第27卷第1期，1997

4.教师工资调整方案(1995年美国大学生数学建模竞赛B题)

题目对职称提升年限表述得不甚清楚(如未提及助理教授的提升)，教龄也未

区分是什么职称下工作的年限，所以应该作出一些相应的简化假设。按所给信息，

工资仅取决于职称和教龄。建立新方案的一种办法是将职称折合成教龄，如定义

x=教龄t+7×k(对于讲师、助理教授、副教授、教授，k分别取值0，1，2，3)，

然后寻求工资函数I(x)，使之满足题目的要求，如I(0)=27000，I(7)=32000等，

d2I以及x较大时2 0。另一种办法是职称、教龄分别对待，工资函数J(k，t)从dx

多种函数中选择，如最简单的线性函数J(k，t)=ak bkt,ak,bk(k=0，1，2，3)根

据一定条件确定。

按照第一种办法得到的新工资方案，以职称和教龄综合指标为x的教师的工

资都应为I(x)，而人们的目前工资会低于或高于它。根据题目要求，高工资不应

降低，低工资则应逐渐提高，尽快达到理想值I(x)。需要做的只是根据每人(目前)

工资与(理想值的)差额，制定学校提供的提薪资金的分配方案。它应该是简单、

合理、容易被人接受的。

按以上原则可以建立不同的模型，应通过检验比较其恶劣。检验可基于题目

所给数据，按照提薪计划运行若干年，考察接近理想方案的情况，即用过渡时期

的情况检验模型;也可进行随机模拟，按照一定规则随机产生数据(可以包括聘

用、提职、解聘、退休的人数和时间等)，再按照提薪计划运行，考察接近理想

方案的情况。

参考文献：叶其孝，《大学生数学建模竞赛辅导教材》（四），湖南教育出版

社，2001

5. 一个飞行管理问题（1995年全国大学生数学建模竞赛A题）

设aij为第i架飞机与第j 架飞机的碰撞角（即aij arcsin()其中rij为这两ij

架飞机连线的长度）， ij为第i架飞机相对于第j架飞机的相对速度（矢量）与

这两架飞机连线（从i指向j的矢量）的夹角（以连线矢量为基准，逆时针方向

为正，顺时针方向为负）， i为第架飞机飞行方向角调整量。

本问题中的优化目标函数可以有不同的形式：如使所有飞机的最大调整量最

小；所有飞机的调整量绝对值之和最小等。以所有飞机的调整量绝对值之和最小，

可以得到如下的数学规划模型：

Min i

i 16

1s.t. ij ( i j) aij, i,j 1, ,6,i j 2

i 30 ， i 1, ,6

为了利用LINGO求解这个数学规划模型，可以首先采用其他数学软件计算

出 ij和 ij。其实， ij和 ij也是可以直接使用LINGO来计算的，这相当于解关

于 ij和 ij的方程，只是解方程并非LINDO软件的特长，这里我们作为一个例

子，看看如何利用LINGO计算 ij，可输入如下模型到LINGO求解 ij：

MIDEL：

1]SETS:

2] PLANE/1..6/：x0，y0;

3] link(plane，plane):alpha，sin2:

4]ENDSETS

5] @FOR(LINK(I，J)|I#NE#J:

6] sin2(I，J)=64/((X0(I)-X0(J))*(X0(I)-X0(J))+

7] (Y0(I)-Y0(J))*(Y0(I)-Y0(J)));…… 此处隐藏：8957字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……