理论力学 第十二章 动能定理

第十三章 动能定理

力的功 质点和质点系的动能 动能定理 普遍定理的综合应用举例 功率· 功率方程· 机械效率

引言

前两章是以动量和冲量为基础，建立了质点或质 点系运动量的变化与外力及外力作用时间之间的关系。 本章以功和动能为基础，建立质点或质点系动能的改 变和力的功之间的关系，即动能定理。不同于动量定 理和动量矩定理，动能定理是从能量的角度来分析质 点和质点系的动力学问题，有时是更为方便和有效的。 同时，它还可以建立机械运动与其它形式运动之间的 联系。

在介绍动能定理之前，先介绍有关的物理量：功 与动能。

13.1力的功13.1.1 常力的功 设物体在常力F作用下沿直线走过路程s,如图， 则力所作的功W定义为

W F cos s F s功是代数量。它表示力在一段路程上的累积作用效应， 因此功为累积量。在国际单位制中，功的单位为：J (焦耳), 1J=1 N· m。

13.1 力的功13.1.2 变力的功 设质点M在变力F的作用下沿曲线运动，如图。 力F在微小弧段上所作的功称为力的元功, 记为dW, 于是有

δW F cos d s力在全路程上作 的功等于元功之和 M M1

ds dr

M'

F

M2

W F cos ds0

s

上式称为自然法表示的功的计算公式。

13.1 力的功上两式可写成矢量点乘积形式

δW F dr

W

M2

M1

F dr

称为矢径法表示的功的计算公式。在直角坐标系中 F Fx i Fy j Fz k , d r dx i dy j dz k

δW Fx dx Fy dy Fz dz

W

M2

M1

( Fx dx Fy dy Fz dz )

上式称为直角坐标法表示的功的计算公式，也称为功 的解析表达式。

13.1 力的功13.1.3 常见力的功 1) 重力的功设质点的质量为m,在重力 作用下从M1运动到M2。建立如图 坐标，则 z M1 z1 O M mg M2 z2 y

Fx 0, Fy 0, Fz mg代入功的解析表达式得

x

W12 ( mg )dz mg ( z1 z2 )z1

z2

常见力的功对于质点系，其重力所作的功为

W12 mi g ( zi1 zi 2 ) ( mi zi1 mi zi 2 ) g ( MzC1 MzC 2 ) g Mg ( zC1 zC 2 )由此可见，重力的功仅与重心的始末位置有关，而与 重心走过的路径无关。

常见力的功2) 弹力的功 物体受到弹性力 的作用, 作用点的轨 迹 为 图 示 曲 线 A1A2, 在弹簧的弹性极限内, 弹性力的大小与其变 形量 d 成正比。设弹 簧原长为l0 , 则弹性 力为A1 r1 l0 r r0 O r2 A2 Fd

A0A dr

F k (r l0 )r0W12 F dr = k (r l0 )r0 drA1 A1 A2 A2

常见力的功因为

r 1 1 2 r0 dr dr d(r r ) dr dr r 2r 2r于是

W12 或

r2

r1

1 (r1 l0 )

2 (r2 l0 ) 2 k (r l0 )dr k 2

1 2 2 W12 k (d 1 d 2 ) 2

弹性力作的功只与弹簧在初始和末了位置的变形量有 关，与力的作用点A的轨迹形状无关。

常见力的功3) 定轴转动刚体上作用力的功设作用在定轴转动刚体上A点的力为F, 将该力分解为Ft、Fn和Fb,当刚体转动时，转角j与弧长s的关系为z F

Ft F cos

Fb O1 Fn r O

ds RdjR为力作用点A到轴的垂距。力F的元 功为

A

Ft

δW F dr = Ft d s Ft Rdj M z dj力F在刚体从角j1转到j2所作的功为

W12 M z djj1

j2

Mz可视为作用在刚体上的力偶

例1 如图所示滑块重P=9.8 N,弹 簧刚度系数k=0.5 N/cm,滑块在A 位置时弹簧对滑块的拉力为2.5 N, 滑块在20 N的绳子拉力作用下沿光 滑水平槽从位置A运动到位置B,求 作用于滑块上所有力的功的和。解：滑块在任一瞬时受力如图。由于 P与N始终垂直于滑块位移，因此，它们 所作的功为零。所以只需计算T 与F的功。 先计算T 的功： 在运动过程中，T 的大小不变，但 方向在变，因此T 的元功为

T A B20 cm15 cm

P F N

T

a

δWT T cos a d xcosa (20 x) (20 x) 2 15 2

因此T在整个过程中所作的功为

WT T cos a d x 200 0

20

20

20 x (20 x) 152 2

d x 200 N cmT

再计算F的功： 由题意：

AB20 cm

2.5 d1 5cm 0.5 d 2 5 20 25cm因此F在整个过程中所作的功为

15 cm

1 1 2 2 WF k (d1 d 2 ) 0.5(52 252 ) 150 N cm 2 2因此所有力的功为

W WT WF 200 150 50 N cm

13.2 质点和质点系的动能1. 质点的动能 设质点的质量为m,速度为v,则质点的动能为

1 2 T mv 2动能是标量，在国际单位制中动能的单位是焦耳(J)。

2. 质点系的动能 质点系内各质点动能的算术和称为质点系的动 能，即

1 2 T mi vi 2

13.2 质点和质点系的动能刚体是工程实际中常见的质点系，当刚体的运动 形式不同时，其动能的表达式也不同。 (1) 平动刚体的动能

1 1 2 1 2 2 T mi vi vC mi MvC 2 2 2(2) 定轴转动刚体的动能

1 1 2 2 2 T mi vi mi ri 2 2 1 2 1 2 2 mi ri J z 2 2

13.2 质点和质点系的动能(3) 平面运动刚体的动能 1 T J P 2 2 2 因为JP=JC + md 所以 C

P

1 1 1 2 2 2 T ( J C md ) J C m(d ) 2 2 2 2 因为d· =vC ,于是得

1 2 1 2 T mvC J C 2 2平面运动刚体的动能等于随质心平动的动能与绕 质心转动的动能的和。

牢记均质圆盘在地面上作纯滚动时的动能:

C

vC

1 2 1 T mvC I C 2 2 21 I C mR 2 , vC R 2

3 2 T mvC 4均质圆环在地面上作纯滚动时的动能见 P183。