正项级数的Raabe对数判别法

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高等数学研究S UD ESI T I N COL E T MAT CS L GE MA HE I 7

正项级数的 R a e数判别法’ ab对姬，龙王锐利 ( J、济源职业技术学院河南济源 4 6 ) 55 40

摘要在正项级数敛散性 R a e ab判别法和第一对数判别法的基础上， P一级数作为比较标准，论了第以讨二对数判别法，并且证明了 R a e ab判别法和第二对数判别法的等价性.

关键词

正项级数 R a e ab判别法对数判别法等价性中图分类号

0 3 1 1 . 7

1 .引言.

在正项级数判别法中， 1文[]中以 P一级数作为比较标准，给出了著名的 R a e ab判别法：

(a e Ra判别法…) b设∑口为正项级数(> )且=l + ( )( -∞)则 口 o,+。,N- . - - ()>1级数∑口收 ()<1级数∑口发散. 1当l时， 敛；2当l时， 文[]中以 P一级数作为比较标准， 2给出了对数判别法：

(对数判法设∑口为项级口 0,。第别 ) 正数(> )H— l i a r()>1级 1当l时，数∑口收 ()<时，数∑口发散 敛；当l 1级 2 .

=. 则

第一判对数别法在幂指函型级解决数数∑ () n“敛的散性时较方是比便的， 4给出 文[]的审敛法 (原文中定理 1实质上是第一对数判别法. )本文的工作是，继续以 P一级数作为比较标准，给出另一种形式的对数判别法，将其称为第二对数判别法.并且首次证明了 R ae ab判别法和第二对数判别法的等价性.我们有如下定理：定理 1 (第二对数判别法 )

设∑为正项级数(n> )且 I口 0, n

f 则

()>1级数∑口收 ()<时，数∑口发 . 1当z时， 敛；当z 1级 2 散2个引理 .几

引理 1当>o有不等式： ,

<I(+ n 1 )< .

证明作函数， ( )=I在区间[,] n. 11+上应用 Lgag中值定理可得 arne1

+ +一÷‘-,一…‘ <,‘‘ .一< l’ < 1 1=

收稿日期： O 0 0; 2 6— 8— 3修改稿： 0 0 O 2 7— 3—2基金项目： 0 6河南

省高等教育教学改革研究项目(6 0 4 1 0 12 7 )

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8

高等数学研究

20 0 7年 5月

也就是说，当>o时，,有

<I( )< n 1+

引 无数∑,理2穷级 当p>时敛； l收当p<l散时发 .引 设级理3数∑口和∑ b为项级口>,> )存正整， 正数( ob o,在数N当n>,足 N满’不等式：川/≤ 6/则口 a川 b,

()果∑b收则∑收 ()果∑口发则∑b发 . 1如 敛， 敛；如 2 散， 散引理 3是正项级数的比较判别法的变形，明从略.证3 .定理 1的证明

( )当 l> 1, 1时则存在 p>1使 f>P> 1 l nn,, i l a r

:f, s:f知对—P>0存在正整

数N得 nⅣ, n/ z ( p=,aa> h数 f+ n调 ,当>时有口a使川>一z ) p .川 .列 ( )单递—即/由 1 .}增且趋于 e对一切正整数 n有 ( )知 1+ n<。于是当 n>Ⅳ时有 .

老>( =1n铮口<nl=n1 n口[+) ( n ( + 1 n 1n]+) ) ( + 1 + ).而级数 1当 p>l时收敛,

故由理3引知当z时，数∑收 >1级 敛=Z,知对=P—Z>0存在n . _∞Ⅱ .. 1

( )当 Z<1,在正数 P,2使 Z<P<q<1由l l 2时存 1P,, i n mn

正整数Ⅳ,】使得当 n>Ⅳ时， n a<z P一：】有口/川+( )=P即 a/, .a+ 1<e<e . 根据 e<e且

1 +|=知，在正数Ⅳ, l (÷) e存整 2卜 1 L i’ m∞ 使得当nⅣ时，< 1÷)取N= a{】 2, > 2 e (+n . mxⅣ,}Ⅳ则当…

nⅣ有 <:[+) 铮>时去< e< 1 (]=散的，引知<1级由理3当z时，数∑口发散 .4 .第二对数判别法和 R a e判别法的等价性 ab

<而和数是等.级∑发调

既然第二对数判别法和R ae ab判别法都是以p一级数作为比较标准得出的，那么它们之间有什

么内在的必然的联系呢？下面我们将证明第二对数判别法和 R ae ab判别法是等价的.我们有：定理 2数列口 是正数列， l 1则 i n mnu n+1

:z的充要条件是u n+1

:1++。 ) (一∞ ) (,n .,‘,‘

证明 (充分性)若

:1++ ( ) (一∞)由引理 1 。,n .有

害等 c< 去 c

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第1 O卷第 3期

姬小龙，王锐利：正项级数的 R a e对数判别法 ab

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=

— —

南<<cn n z +, n nc 。—击+∞=1 .n . -∞“^‘1

对上式取极限，得l l可 i n mn

(性若 n杀=有l +,,∞,有必 ) l z n z ( n )是要 n,n 8一于未 nl n

口=上+ ( o一 )=p+,n n∞,,一，∞! e( ), ) n x÷ (一 n+ l/ 7, n’ 口 n+1 r工 n.

n 1 p鲁一/=m/鲁= ( )1e+)11[+)]z杀一=mx . ( i .[] l(/, n~n i n 11 z,一，∞,t=+ - l÷。 ) (—=+ (。一)￣ 1 l鲁=++,口尝 ) n n++ i l, (‘¨ n+

( .o . N- o ) -￣

由定理 2可知，第二对数判别法是 R ae ab判别法的等价变形，因而将第二对数判别法称为R ae ab对数判别法更合理一些.对于有的正项级数有 R a e ab对数判别法是很方便的，看几例.下5 .应用举例

例判级壹一敛性 l别数 e的散 . 解 l nn i l mn. -∞口n+1

:l nB i l m e-∞ .

:l n i ( m-∞ .

一 )=+∞, R ae 由 ab对数判别法知，所

给级数收敛. 例 2判别级数∑n

=l

_ I丽

( o敛性 )散 >的发散，见；级数当可原

解去=

=+,毒 il+ )由a对判 1 n l n = Rb数别 ll m ( -n。 1 i . m n a e’

法知，>1级敛，<时级发散，=时数∑当时数收当 1数而当 l级>1时级数收敛，当≤ 1时级数发散.

例判级壹 -.(>)敛性 3别数÷ i o的散 .+.+I”解 l l. i n mnn. -∞口 n+1

= l l 1=一lx由R ae i似而 mn n ab对数判别法知，当0<<_ L时级数收敛， I当,

-∞ .

>

÷级发当=时为 )

+南>1=,数l发，时数散÷, (¨因÷扣= 旦级 n散 r∑可 t=而詈(转第 2页)下 3

见数 ” o o<时数敛 ÷级发.,主l+>)<÷级收，≥时数散级+当 (当

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第1 0卷第 3期

陈德新：概率方法证明系列加权均值不等式用

2 3

利用不等式l ( n )≥E 1 ) n ( )∑P E (得l[∑P/ nn]。 ]≥l ) -即[,

c≥ ) (~ 4附注

㈩

不等式 ( ) ( ) ( )虽有多种证法，本文只用到两个特殊的 Jne等式就全部证出， 1、2、3但 esn不一气呵成. 若将 ( ) ( ) ( )式连写， ( 1、2、3则当。>0P,>0时 )

( 1Zi P i X特别地，当∑P=1有 时，

≥ ) ( 厚

( )≥∑P≥I￣∑P )∑p寺 I x≥(。 ,

进一步地， i÷(=1, n时，当P= i,…, 2 )有≥n’

≥(

n

参考文献[]陆晓恒.概率方法在证明数学问题中的应用[] 1 J .高等数学研究，03 3,3—4 20 ( )4 4 (接第 9页)上注记： 3 D Ae et别法和 C uh判别法都无法判定， R ae例用 lmbr判 ac y用 ab判别法也很困难 (算繁杂 )但用 R ae数判别法却很方便，见，ab计， ab对可 R ae对 …… 此处隐藏：2337字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……