第一章 闭区间上连续函数的性质 同济版高数

闭区间上连续函数的性质闭区间上的连续函数有着十分优良的性质， 这些性质在函数的理论分析、研究中有着重 大的价值，起着十分重要的作用。下面我们 就不加证明地给出这些结论，好在这些结论 在几何意义是比较明显的。

一、最大值和最小值定理定义: 对于在区间 I上有定义的函数 f ( x ),

如果有 x0 I , 使得对于任一 x I 都有 f ( x ) f ( x0 ) ( f ( x ) f ( x0 )) 则称 f ( x0 )是函数 f ( x )在区间 I上的最大(小)值. 例如, y 1 sin x , 在[0,2 ]上, ymax 2, ymin 0;

y sgn x, 在( , )上, ymax 1, ymin 1;

在(0, )上, ymax ymin 1.

定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.

若 f ( x ) C [a , b], 则 1 , 2 [a , b], 使得 x [a , b], 有 f ( 1 ) f ( x ), f ( 2 ) f ( x ).

y

y f ( x)

o

a

2

1 b

x

注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.

y

y f ( x)1

y

y f ( x)

o

2

x

o

1

2

x

定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界. 证 设函数f ( x )在[a, b]上连续, x [a , b],有 m f ( x) M ,

取 K max{ m , M },

则有 f ( x ) K . 函数f ( x )在[a, b]上有界.

二、介值定理定义: 如果 x0使 f ( x0 ) 0, 则 x0称为函数

f ( x )的零点.定理 3(零点定理) 设函数 f ( x ) 在闭区间 a, b 上连续，且 f (a ) 与 f (b ) 异号(即 f (a ) f (b ) 0 ), 那末在开区间 a, b 内至少有函数f ( x ) 的一个零 点,即至少有一点 (a b ) ,使 f ( ) 0 .

即方程 f ( x ) 0在 (a, b)内至少存在一个实根.

几何解释:

y

连续曲线弧 y f ( x )的两个 端点位于x轴的不同侧, 则曲 线弧与 x轴至少有一个交点 .a o

y f ( x) 1 2 3b x

定理 4(介值定理)

设函数 f ( x )在闭区间 a, b

上连续，且在这区间的端点取不同的函数值

f (a ) A 及 f (b) B ,那末，对于 A与 B 之间的任意一个数C ,在开区间

a, b 内至少有一点 ,使得 f ( ) C

(a b) .

证 设 ( x ) f ( x ) C ,则 ( x )在[a, b]上连续,

yM B y f ( x) C a o x1 1 A m

且 (a ) f (a ) C A C, (b) f (b) C B C , (a ) (b) 0,

2 3 x2 b

x

由零点定理,

(a, b), 使

( ) 0, 即 ( ) f ( ) C 0, f ( ) C .几何解释: 连续曲线弧 y f ( x )与水平

直线 y C至少有一个交点.

推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大 值 M 与最小值 m之间的任何值. 例1 证明方程 x 4 x 1 0在区间 (0,1)内3 2

至少有一根.证 令 f ( x )

x 3 4 x 2 1, 则f ( x )在[0,1]上连续,又 f (0) 1 0,

f (1) 2 0,

由零点定理,

(a, b), 使 f ( ) 0,

即 3 4 2 1 0,

方程x 3 4 x 2 1 0在(0,1)内至少有一根 .

例2 设函数 f ( x )在区间[a , b] 上连续, 且f (a ) a ,

f (b) b. 证明 (a , b), 使得 f ( ) .证 令 F ( x ) f ( x ) x, 则F ( x )在[a, b]上连续,而 F ( a ) f ( a ) a 0,F ( b ) f ( b ) b 0,

由零点定理,

(a, b), 使 F ( ) f ( ) 0,即 f ( ) .

例3 设f ( x )在[0,2a ]上连续，且f (0) f ( 2a ) 证明 [0, a )使f ( ) f ( a ) 证

记F ( x ) f ( x ) f ( x a )则 F ( x )在[0, a ]上连续([0, a ]即F ( x )的定义域) 且F (0) f (0) f (a ) F (a ) f (a ) f ( 2a ) f (a ) f (0) 若f (0) f (a ) 则 0即为所求 若f (0) f (a ) 则F (0) F (a ) 0由零点定理知

(0, a )使F ( ) 0

即f ( ) f ( a )

总之

[0, a )使f ( ) f ( a )

注

①方程f(x)=0的根

函数f(x)的零点

②有关闭区间上连续函数命题的证明方法 10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理 20间接法(辅助函数法):先作辅助函数， 再利用零点定理

辅助函数的作法 (1)将结论中的ξ(或x0或c)改写成x(2)移项使右边为0,令左边的式子为F(x) 则F(x)即为所求

区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出， 余下只须验证F(x)在所讨论的区间上连续，再比较 一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值 介于F(x)在所论闭区间上的最大值与最小值之间。

三、小结四个定理有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理. 注意 1.闭区间； 2.连续函数. 这两点不满足上述定理不一定成立.

解题思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;

思考题下述命题是否正确？如果 f ( x ) 在[a , b] 上有定义，在(a , b ) 内连续，且 f ( a ) f (b ) 0 ,那么 f ( x ) 在

(a , b) 内必有零点.

思考题解答不正确.

e , 例函数 f ( x ) 2,

0 x 1 x 0f (0) (1) 2e 0.

f ( x ) 在(0,1) 内连续,

但 f ( x ) 在(0,1) 内无零点.