2007级复变函数与积分变换(A卷)参考答案

复变函数考试题

课程编号：07000048 北京理工大学2008—2009学年第二学期

2007级复变函数与积分变换试题A卷

班级_______ 姓名_________ 学号_______成绩__________

一 (10) (1) 求区域{z:Re(z) 0}在映射w i(z 1)下的像。

解答：像为{w | Im(w) > －1}（映射过程图略）。

(2) 判别函数f(z) zz在复平面上哪些点处可导，哪些点处解析。

解答： f (z) 仅在z = 0处可导，在整个复平面上无解析点。

二（6）设函数f(z) ay3 bx2y i(x3 cxy2)在复平面的某个区域D内解析，试确定a,b,c的值。 2

解答：a＝1，b＝－3，c＝－3.

三（6）求解析函数f(z) u iv 满足：v 2xy，f(i) 1。

解答：f(z) (x2 y2) 2xyi (x yi)2 z2.

四（58）计算下列积分：

（1） |z|dz，其中曲线C分别是从点 1到点1的I)直线段，II)上半单位圆，III) 下半C

单位圆。 解答：I）1； II）2；III）2；

（2） C(ez (z i)3)dz，其中积分路径C从点0到点i的任意光滑曲线。

55 ei cos1 isin1； 44 解答： (ez (z i)3)dz Cz （3）2z(z 2)z 1zz 22z(z 2)z 1|z|2 22z(z 2)z 1 0； 22z(z 2)z 11

（4）zdz4 i； 263z 1(2z 1)(z 2)(z 5)

（5）

z 1 12ez 3z3 2z2 sin( z)e dz i； 512(z 1)

复变函数考试题

（6）1 i； 215|z| 2z(z 1)(z 5)

（7） 01,a 0 44x a

解答： 01 2 ； 4433x a4a22a

（8）1 4zsindz i； z60|z 1| 2

（9）1z 1z2z1 2 i.

五（12）(I) 求函数f(z) z在点z 0处的Taylor级数展开式； (z2 1)2

解答：

1 1 1 n2nn 12n 1f(z) 2( 1)z ( 1)nz ( 1)k(k 1)z2k 1, (|z| 1); 2 z 1 2 n 0n 1k 0

(II) 求函数g(z)

解答：

8 4i 11 8 4i kk (k 1) (k 1)k g(z) ( 1)iz 2z . 5 z 2z i 5 k 0 k 0

zn六（8）设函数f(z) sin的幂级数展开式为，求它的收敛半径，并计算系az n21 zn 04在圆环域1 z 2内的罗伦级数展开式。 (z i)(z 2)

数a1,a2.

解答：收敛半径R |1 0| 1；

a1

f (0)f (0) 1，a2 0. 1!2!