高三数学圆锥曲线创新题

1 / 9 谈谈解析几何中的——

解题·编题·组题

教师的教学活动，决不单是备课与上课。特别是数学教师，整天打交道最多的，就是数学题了。本文（或本讲座）准备就解析几何的知识内容，说说与解题·编题·组题相关的问题。

⒈解题

⒈1先看两个例子（本文各节自成例序）

例1 一直线ι与x 轴、y 轴都不平行，也不过原点；点M (x,y)在ι上；点P （2，1），Q(3x+2y-1,3x-2y+1)在与ι垂直的直线ι′上。求直线ι的方程。

例2 一X 白纸上仅有双曲线的图象，试用圆规与直尺画出它的焦点。

例1是一道与直线相关的题目，难道直线问题还有一般来说做不出来的题目吗？例2给人的感觉就是一道神秘兮兮、头绪玄乎的难题。

作为高中数学教师，具有一定的解题能力，甚至是解决具有相当难度数学问题的能力，应该说是必须修行与具备的功力。对于解数学题所显现的能力X 畴，主要是指哪些方面呢？

⒈2解题能力，不言而喻，主要就是指普通数学问题不被难倒，甚至具有相当难度数学问题也难不倒的能力。这里指的数学问题，当然主要是指中学数学X 畴的基本初等数学问题。

例2后面还要说到，我们先看例1的解决。

例1 解：设直线ι的方程为y=kx+b,k 存在,kb ≠0,ιˊ的方程为).2(11--=-x k

y 把Q 代入， 即有].2)123[(11)123(--+-=-+-y x k

y x 化简，得 3(1+k)x+2(1–k)y –3=0. (1)

由于ιˊ的方程经如此整理,变量(x,y)就是ι中的变量,斜率k 就是ι中的k,故化作了与

kx –y+b=0。 （2） 同样的方程。比较（1）、（2），应有 )0(.31)1(2)1(3≠-=--=+kb b

k k k 由 2k 2–2k-3–3k=0, (k –3)(2k+1)=0。解得k=3 或k=―1/2。

k=3时b=―3/4；k=―1/2时，b=1. ∴ι的方程为 .12

1433+-=-=x y x y 或 例1同一法的解题构思并不是那么容易“想到”的。而一旦“想到”，也就不显得稀奇。例1的解决过程给我们以什么启示呢？

⒈⒉1 所谓题目的难易，其实是相对的。即便是竞赛题，你熟悉了其中的门道，其命题的途径，其解题的构思，特别是基本的数学思想、方法、技巧，也就自而然之地融会贯通于其中，亦即不感觉到怎样的难。否则，我国参赛队自加入国际奥林匹克数学竞赛以来，屡拿第一也就显得不可理解；另一方面，即便是小学的数学题，也许也有你颇感为难的问题与时候。

⒈⒉2 所谓熟悉，是解决不了根本问题的。如例1，高中师生对于直线问题，不会不熟悉。因此，解有份量的题还得有灵感。所谓数学灵感，是对数学概念，数学题的条件与要求，理解与应用相当到位的一种感觉。

⒈⒉3 解所谓难题，要有一定的知识、数学问题、数学思想与方法的积累；即要有相当的基本训练。所以话还得说回来，毕竟熟能生巧。见得多了，练得多了，又有相当的思维机敏性，解题功力一定渐长。

⒈3 解题能力除了解一定难题的功力，还指一般解题思路的清晰缜密，解题方法的简明得当，解题过程的轻松自如。走了很大的弯路，烦琐地解出一道题，看来是成功了，也许却失败了。首先在理念上，要十分清醒、十分明确地感悟到，数学就是一门追求简明的科学。在教学上，要鼓励用好方法，讲究用巧方法；不主X 满足结果。应追求思考在路子上，思维在点子上，思索在力度上。

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比如抛物线上任意四点构成的四边形能否做到一组对角相等。如果这样说明：如图1-1，对于等腰三角形OAB ，比较弦AB 上的圆周角，当C 离A 较近时，显然∠C>∠O ；C 在相当远的地方，∠C 接近于0。其间必有点使∠C=∠O 。但有学生这样说明：如图1-2，作任意弦AC 的垂直平分线交抛物线于D 、B ，则四边形ABCD 为筝形，∠A=∠C 。显然更简明直观。既然如此，就宜采用此法。笔者决不是排斥同一问题的不同解法，而是说应追求相对更好更为切合的方法。

⒈4 解题能力不光是解难题，巧解题，还注意功力体现于速度上。数学解题是应检测敏捷性的。这样，就更要求理解、应用、解决的基本功要扎实，特别是一步步的验算与推理，保持连贯与正确应力求过硬。在教学中要训练学生的认真、耐心、完备的心理素质，克服看题不细，做题不精，毛糙，不规X ，不知检查、反馈、整理等毛病。

⒈5 正因为解题能力是一种显现综合素质的能力，所以怕做难题，或只做难题都是偏颇的。不讲过程，忽视规X 与完备更相当有害。到了高年级，更应讲究对解题能力的辩证理解。既不为一个小步骤的失误耿耿于怀，要看到大的方面；又不能眼高手低，总是不以为然。读题与做题相结合。讲究质量、讲究效率正是高年级特别是毕业班学生追求的目标；也是解题能力努力的一种境界。因此，主次概念、重轻概念、急缓概念，平中思变、稳中求奇，都是高境界以理性指导解题的基本策略。由于年龄、阅历的特点，即便是高中学生，对题目及其解决的理解辨析能力是颇需训练的；相当关键的，是上述大小意识。

⒉ 编题

⒉1 编题的意义、前提和准则

当一名称职的数学教师，光有即便是出色的解题能力还不怎么样。必须要有不错的编题能力，才能称之为可以。从解题到编题，不能只看作层次差异，首先取决于你职业热爱与敏感激发的兴趣与动力。许多教师只会解题，但绝对产生不了编题的激情，原因固然很多,总之对数学（教学）本职的认识与感悟也就差了一截。你想成功编题，编出好题，首先你必须熟悉与研究课程标准、考纲考点、考题特别是高考题的分布特点、命题方向与价值取向。这个问题本身就具有复杂性。从命题者（小组）本人（自身）到广大师生，对上述最基本、最重要问题的理解与看法都不尽相同；另一方面，光是对这些揣摩亦非上策，甚至不明智，陷入误区，或导致更有害更严重的后果。“阵而后战，兵家之常；运用之妙，存乎一心”。根本的问题还在于对知识的理解与掌握，对基本技能显现的基础与功力。一方面，历年的高考题，高考的命题方向与取向，其特点甚至规律不能不研究，特别是强调能力、创意的今天；另一方面，又不能绝对化，还是着眼于基础训练与解题能力的提高。但毕竟说明了，你想编题，你必须先大量做题；先充分关注、了解、研究、整理与数学问题，特别是典型数学题例相关的问题。在充分积淀的基础上，然后尽情发挥你的潜质，经过历练与提升，于是，能编出题目，能编出好题目的成功前景会对你形成召唤。

⒉2 编题的几个主要成因

你有了编题的内在要求，尝试着去做，体会、经验、愉悦自然会蕴含其中。就本文来说，当然也是最实质、最主要的地方。本人想就此仅对解析几何知识内容所自编、改编的数学问题述之一二，抛砖以引玉。

⒉⒉1 “借题”以发挥

如前已述，要想编好题，必先解好题，只是在做题时，多存着几分研究、探讨的心。我们知道，摩仿往往是创新的前奏。先想想人家这题目是怎样形成的，要解决什么问题。由此有何可深掘之处，因之培养感觉。举例如下：

例1 在标准形式的椭圆、双曲线中，M 是过x 轴焦点、斜率为k 1的弦的中点，MO 的斜率为k 2, 则成立e 2=1+k 1k 2。在抛物线中，有类似结论吗？有圆锥曲线的同一关系式吗？[1]

3 / 9 这是蒲荣飞提到的一个数学问题，其实并不难解决。笔者否定了这个结论。得到的结果是： 抛物线).1(022.22,)0(2211212211

22=≠+=+=>=e k k k k k k k k p px y 即显然中

然而，这个结果的关系式太好，这样，一个数学问题随之产生：

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