第二章 自动控制系统的数学模型(1)

第二章 自动控制系统的数学模型

第二章：自动控制系统的数学模型系统的数学模型：描述系统中各个变量之间关系的数学形式和方法—数学表达式 变量之间关系

静态关系动态关系 控制理论研究的对象 基础

数 学 模 型

时域模型—微分方程复频域模型—传递函数 框图，信流图

频域模型—频率特性、Bode图

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建模方法: 分析法(理论建模) 实验法(系统辨识)

着重介绍

分析法适用于对系统中各元件的物理、化学等性质比较清楚 的情况。根据系统的实际结构参数，从系统各元件所依据的 物理、化学等规律出发建立系统的数学模型 如果不了解系统的运动规律，则应使用实验法建立数学模型， 即：在系统或元件的输入端加入一定形式的输入信号，再根据 测量的输出响应建立其数学模型

数学模型

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物理模型

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第一节 控制系统的时域数学模型-----微分方程的建立一、微分方程的建立1.线性定常微分方程的一般形式 控制系统中的输出量和输入量通常都是时间t的函数。很多常见 的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用一个微分 方程表示，方程中含有输出量、输入量及它们各自对时间的导 数或积分。这种微分方程又称为动态方程、运动方程或动力学 方程。微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数，又 称为系统的阶数。

dny d n 1 y dy d mx d m 1 x dx an n an 1 n 1 ... a1 a0 y bm m bm 1 m 1 ... b1 b0 x dt dt dt dt dt dt

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2. 建立系统微分方程的一般步骤或方法1)分析元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入量 和输出量(必要时还要考虑扰动量),并根据需要引入中间变量 2)根据各元件在工作过程中所遵循的物理或化学定律，忽略次 要因素，并考虑相邻元件的彼此影响，列写微分方程。 常用定律：电路系统的基尔霍夫定律、力学的牛顿定律和热 力学定律等 3)消去中间变量，得到描述输出量与输入量(包括扰动量)关 系的微分方程，即元件的数学模型 4)标准化。通常将微分方程写成标准形式，即将与输入量有关 的各项写在方程的右边，与输出量有关的各项写在方程的左边 方程两边各导数项均按降阶顺序排列。 5)并将各项系数归一化为具有一定物理意义的形式

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3. 举例

1)电气系统电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运算 放大器等元件组成的电路，又称电气网络。电阻、电感、电 容这类本身不含有电源的器件称为无源器件，运算

放大器这 种本身包含电源的器件称为有源器件。仅由无源器件组成的 电气网络称为无源网络。如果电气网络中包含有源器件或电 源，就称为有源网络。

基本定律：基尔霍夫电压、电流定律 欧姆定律

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例一：列写下图的运动方程

i (t)

R

Ri u2 u1

u1(t)

C

u2(t)

du 2 i c dtdu 2 化简, 得 RC u 2 u1 dt du 2 u 2 u1 dt

RC

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例二：如图RLC电路，试列写以U1(t)为输入量，U2(t)为输出 量的网络微分方程 L Ri(t)

di (t ) L u2 (t ) Ri (t ) u1 (t ) dt

u1(t)

C

u2(t)

1 u2 (t ) i (t )dt cd u2 (t ) du2 (t ) LC RC u2 (t ) u1 (t ) 2 dt dt2

1 d 2u2 (t ) 1 du2 (t ) 2 u2 (t ) u1 (t ) 2 2 n dt n dt

R L 2 C

n

1 LC

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2)机械系统机械系统指的是存在机械运动的装置，它们遵循物理学 的力学定律。机械运动包括直线运动(相应的位移称为线位 移)和转动(相应的位移称为角位移)两种

基本定律：力学定律 牛顿第二定律 牛顿转动定律

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例1:试列写质量m在外力F作用下位移y(t)的运动方程。

解: 阻尼器的阻尼力: 弹簧弹性力:2

dy (t ) F1 (t ) f dt

k mf

F

F2 (t ) ky(t )

d y( t ) m F ( t ) F1 ( t ) F2 ( t ) 2 dt d 2 y( t ) dy( t ) f ky( t ) F ( t ) 整理得: m 2 dt dt

y(t)

1 d y(t ) 2 2 2 n dt n dt

2

1 k 1 dy(t ) k y(t ) kF (t )

f 2 km

k n m

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1 d 2u2 (t ) 1 du2 (t ) 2 u2 (t ) u1 (t ) 2 2 n dt n dt 1 d 2 y(t ) 1 dy(t ) 2 y(t ) kF (t ) 2 2 n dt n dt比较上2例可见，虽然它们为两种不同的物理系统，但它 们的数学模型的形式却是相同的，我们把具有相同数学模型 的不同物理系统称为相似系统，例如RLC串联网络系统和弹簧 - 质量 - 阻尼器系统即为一对相似系统。在相似系统中，占据 相应位置的物理量称为相似量。 相似系统揭示了不同物理现象之间的相似性，可以进行仿真 研究。

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4. 非线性系统的线性化(小偏差线性化)原则上讲，实际物理系统都是非线性系统 两个基本假设： (1)系统中的变量在某一工作点附近作微小变化； (2)非线性特性在该工作点可导.

定义：将非线性微分方程转化为线性微分方程的 方法称为小偏差线性化.方法：其非线性特性曲线可以用该工作点的切线代替

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线性化的方法1)将非线性函数在工作点X0附近展成台劳级数，略去 高次项，得到一个

以增量为变量的线性函数df 1 d2 f 2 x x0 y f ( x0 ) x x0 2 dx x 2! d x x 0 0 x x0 很小，其二次方及二次方以上各 2)由于 项可略去，得：

df ( x) y dx

xx x0

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3)两个自变量： y=f(x1, x2) 静态工作点： y0=f(x10, x20) 在y0=f(x10, x20) 附近展开成泰勒级数，即 f 1 2 f f 2 f 2 f 2 2 y f ( x10 , x20 ) x ( x1 x10 ) x ( x2 x20 ) 2! x 2 ( x1 x10 ) x x ( x1 x10 )(x2 x20 ) x 2 ( x2 x20 ) 2 1 2 1 1 2

函数变化与自变量变化成线性比例关系

y K1 x1 K 2 x2

注意： ①适用于不太严重的非线性系统，其非线性函数可利用泰勒级数展开 ②实际运行情况是在某个平衡点附近，且变量只能在小范围内变化 ③k值随静态工作点而变 ④只适用于无间断点、折断点的单值函数

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例：某一电加热炉，输入量为电压u,输出量为温度T,求系 统数学模型

电阻为R的电炉 丝产生热量

u2 Q 0.24 dt R 0

t

dQ 电炉丝产热速率单位为卡/秒 dt设电炉丝每秒向周围散热速率为Фs, Фs=K(T-Te) 实际每秒使电炉升温热量为Ф- Фs, 令电炉热容量为C,单位为卡/℃

dT C S dt

dT u2 则： C KT 0.24 KTe dt R

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dT u2 C KT 0.24 KTe dt R在u0 处把u2展成泰勒级数

d 2 2 u u (u ) u u0 u0 2u0 u dt u2 2 0 0

2 2 u0 2u0 u u0 0.48u0 dT C KT 0.24 KTe 0.24 u K …… 此处隐藏：1931字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……