数学：2.2.1《双曲线及其标准方程》PPT课件(新人教A版-选修1-1)

新课标人教版课件系列

《高中数学》选修1-1

2.2.1《双曲线及其标准方程》

教学目标知识与技能目标 理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲 线的定义解决实际问题；理解双曲线标准方程的推 导过程及化简无理方程的常用的方法；了解借助信 息技术探究动点轨迹的《几何画板》的制作或操作 方法。 过程与方法目标 (1)预习与引入过程 预习教科书有关内容，思考当变化的平面与圆锥轴 所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线 (截面与圆锥侧面的交线)是什么图形？又是怎么 样变化的？

问题1:椭圆的定义是什么？

F12

问题2:椭圆的标准方程是怎样的?x2 y2 y 2 x2 2 1(a b 0)或 2 2 1(a b 0) 2 a b a b

, 关系如何？ ab c

a b c2

平 面 内 ， 与 两 2 个 定 点

2

问题3:如果把上述定义中“距离的和”改为“距离的差”那 的 么点 的轨迹会发生怎样的变化？ 距离 的 和 等

1.双曲线的定义：平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1F2 )的点的轨 迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。

M

MF1 MF 2 常数F1

F2

2.标准方程的推导① 建系xF1,F2 y F1,F2

y

MF1O

使

轴 ② 经 设点 过 两 焦 设 M ( x, y )是双曲线上任一点， 点 焦距为 2c(c 0) ,那么 焦点 的差的绝对值等于常数 2 a 。 ③ 列式 ， 即 轴 为 线 段

F2 x

F ( c,0), F2 (c,0) 1

又设点 M 与 F1 , F2

MF1 MF2 2a

( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 2a

④化简

得 (c a ) x a y a 2 2 2 两边同除以 a (c a ) 得2 2 2 2 2

2

(c 2 a 2 )

x2 y2 2 1 2 2 a c a

2c 2a c a c 2 a 2 0

令c 2 a 2 b 2 (b 0)

代入得

x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b这个方程叫做双曲线的标准方程。它所表示的是焦点在

x轴上

F ( c,0), F2 (c,0) c 2 a 2 b 2 . 1

y

焦 点 在

y

F2

y 2 a

2

轴 x 上 1(a 2 的 b 双 曲 线 的 标 准 方 程 是 什 么 ？2

0, b 0)

O

xF1

3.两种标准方程的比较

x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b① 方程用“-”号连接。 ② 分母是 a2

y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b

, b2 , a 0, b 0 但 a, b。

大小不定。

③

c 2 a 2 b22

④如果 x 的系数是正的，则焦点在 焦点在 y轴上。

x轴上；如果 y 2的系数是正的，则

1 x

2

4

y 1 2

2

2 x

2

2

x2 y2 3 1 4 2答案：

x2 4 1(m 0, n 0) m n

是，求出 y 2及焦点坐标。

y 程是否表示 1 2双曲线？若

判断下列方 2

a,b,c

1 a 2, b 2, c 6 ( 6,0).( 6,0) 2

a 2, b 2, c 2 ( 2,0).(2,0) 3 a 2, b 2, c 6 (0, 6 ).(0, 6 ) 4 a m, b n, c m n ( m n ,0).( m n ,0)

(1)先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。

m 0 n 0 m 0 n 0

x2 y 2 1 (2)(mn 0) m n 是否表示双曲线？表示焦点在

x 轴上的双曲线；

表示焦点在 y轴上的双曲线。

x2 y2 1 表示双曲线，求 m的范围。 2 m m 1答案：m

1或m 2 。

解：因为双曲线的焦点在轴

x上，所以设它的标准方程为

x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b因为2 2 2a 6,2c 10 ,所以 a 3, c 5 ,所以 b 5

1.已知 1 2 双曲线 两个焦 点分别 为

F1( 5,0),F2(5,0)

P F ,F

因此，双曲线的标准方程为

x2 y2 1. 9 16

小结：求标准方程要做到先定型，后定量。

, 双曲线16. 32 上一点 到 距离差 的绝对 值等于 6,求 双曲线 的标准 方程。

求适合下列条件的双曲线的标准方程。

x上， a 4, b 3; ②焦点在在轴 x 上，经过点 ( 2 , 3 ), (①焦点在在轴

x2 y2 1 答案: ① 16 9x2 y2 2 1 (a 0, b 0) a2 b

15 , 2) . 3

②设双曲线 代入点 的标准方 得 程为( 2 , 3 ), (3 2 a2 b2 1 5 2 1 b2 3a 2

15 , 3

2)

2m 3n 1 1 1 令 m 2 , n 2 则 5 m 2n 1 a b 3

m 1 1 解得 n 3

y2 故所求双曲线的标准方程为 x 2 1. 3

2.已知A,B 两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2秒，且声速为340m/s,

求炮弹爆炸点的轨迹方程。分析： 假设爆炸点为P,爆炸点距A地比B地远； P

PA PB 2 340爆炸点P的轨迹是靠近B处 的双曲线的一支。 A B

O

AB P( x, y )

xOy

A, B

x

x2 115600

解： 设 即又 所 AO 因 所 建立 B 因 爆 以 为 以 如图 此 炸 所示 炮 点 的直 弹 的 角坐 爆 坐 标 炸 标 系 点 为 的 ， 使 轨 ， 两点 迹 则 在 ( 轴上， 双 并且 曲 坐标 线 原点 ) 与线 的 段 方 的中 程 ， 点重 为 合。2a 680 a 340 , .2c 800, c 400,

PA PB 340 2 680

AB 800 ,

y

b 2 c 2 a 2 44400 .

P

PA PB 340 2 680 0,

x 0.

x

y2 1 ( x 0). 44400

双曲线的定义

双曲线的标准方程

应用

60页练习1、2;

66页习题2.3 A组1、2题。