2007年全国初中数学竞赛试题

2007年全国初中数学竞赛试题

一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，

其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填都得0分）

x y 12

1. 方程组 的实数解的个数为（ ）

x y 6

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

2. 口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个

但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ） （A）14 （B）16 （C）18 （D）20

3. 已知△ABC为锐角三角形，⊙O经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E．若⊙O的半径

与△ADE的外接圆的半径相等，则⊙O一定经过△ABC的（ ）

（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心

4. 已知a、b、c是三个互不相等的实数，且三个关于x的一元二次方程ax bx c 0，

2

a2b2c2

bx cx a 0，cx ax b 0恰有一个公共实数根，则的值为（ ） bccaab

2

2

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 5. 方程x3 6x2 5x y3 y 2的整数解(x，y)的个数是（ ）

（A）0 （B）1 （C）3 （D）无穷多 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6. 如图，点A，C都在函数y

33

(x 0)的图像上，点B，D都在x轴上，且使得△OAB，△BCDx

都是等边三角形，则点D的坐标为__________________。

7. 如图，在直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，CA = 4．点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段

BP把图形APCB（指半圆和三角形ABC组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是__________________。

第6题图

第

7题图

第8题图

90 ，则n __________________。

8. 如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G =n·

9. 已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数y x2 (a 3)x 3的图像与线段AB只

有一个交点，则a的取值范围是__________________。 10. 已

知

对

于

任

意

正

整

数

n

，都有

a1 a2 an n3

，则

111

__________________。 a2 1a3 1a100 1

三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）

11. 已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P是抛物线y

12

x上的一个动点．（1）判断以4

12

x的另一个4

点P为圆心，PM为半径的圆与直线y 1的位置关系；（2）设直线PM与抛物线y 交点为点Q，连接NP，NQ，求证： PNM QNM

12. 已知抛物线C1：y x 3x 4和抛物线C2：y x 3x 4相交于Ａ，Ｂ两点．点P在抛物线

22

C1上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线C2上，也位于点A和点B之间．

（1）求线段AB的长；

（2）当PQ∥y轴时，求PQ长度的最大值．

13. 已知a，b都是正整数，试问关于x的方程x abx

把它们求出来；如果没有，请给出证明．

14. 如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD，BC的延长线上，且满足

2

1

(a b) 0是否有两个整数解？如果有，请2

DEAD

．若CD，FE的CFBC

延长线相交于点G，△DEG的外接圆与△CFG的外接圆的另一个交点为点P，连接PA，PB，PC，PD．求证： （1）

ADPD

； BCPC

（2）△PAB∽△PDC．

15. （1）是否存在正整数m，n，使得m(m 2) n(n 1)？

（2）设k(k 3)是给定的正整数，是否存在正整数m，n，使得m(m k) n(n 1)？

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2007年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）

x y 12,

1．方程组 的解的个数为（ ）．

x y 6

（A）1 （B） 2 （C） 3 （D）4

答：（A）．

x y 12,解：若x≥0，则 于是y y 6，显然不可能．

x y 6,

若x 0，则

x y 12,

x y 6,

于是y y 18，解得y 9，进而求得x 3．

x 3,

所以，原方程组的解为 只有1个解．

y 9,

故选（A）．

2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）．

（A） 14 （B） 16 （C）18 （D）20 答：（B）． 解：用枚举法：

红球个数 白球个数 黑球个数 种 数

5 2，3，4，5 3，2，1，0 4 4 3，4，5，6 3，2，1，0 4 3 4，5，6，7 3，2，1，0 4 2 5，6，7，8 3，2，1，0 4

所以，共16种．

故选（B）．

3．已知△ABC为锐角三角形，⊙O经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E． 若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，则⊙O一定经过△ABC的（ ）．

（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心 答：（B）．

解： 如图，连接BE，因为△ABC为锐角三角形，所以 BAC， ABE均为锐角．又因为⊙O的

半径与△ADE的外接圆的半径相等，且DE为两圆的公共弦，所以 BAC ABE．于是，

BEC BAC ABE 2 BAC．

若△ABC的外心为O1，则 BOC 2 BAC，所以，⊙O一定过△ABC的外心． 1故选（B）．

4．已知三个关于x的一元二次方程

ax2 bx c 0，bx2 cx a 0，cx2 ax b 0

a2b2c2

恰有一个公共实数根，则的值为（ ）． bccaab

（A） 0 （B）1 （C）2 （D）3 答：（D）． 解：设x0是它们的一个公共实数根，则

ax0 bx0 c 0，bx0 cx0 a 0，cx0 ax0 b 0．

把上面三个式子相加，并整理得

2

(a b c)(x0 x0 1) 0．

222

因为x0 x0 1 (x0 )

2

1

2

2

3

0，所以a b c 0．于是 4

a2b2c2a3 b3 c3a3 b3 (a b)3

bccaababcabc

故选（D）．

5．方程x 6x 5x y y 2的整数解（x，y）的个数是（ ）．

（A）0 （B）1 （C）3 （D）无穷多 答：（A）．

解：原方程可化为x(x 1)(x 2) （3x x） y(y 1)(y 1) 2，因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．所以，原方程无整数解．故选(A).

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6．如图, 点A，C

都在函数y

2

3

2

3

3ab(a b)

3．

abc

x 0)的图象上，点B …… 此处隐藏：6261字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……