相关系数显著性检验的几何意义

相关系数显著性检验的几何意义

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第3 0卷第4期20 0 7年 8月

南京气象学院学报Jun l f nigIstt ee r l y o ra o j ntue ofM to o og Na n i—

VO . 0 No. 13 4

Au 2 0 g. 0 7

—

相关系数显著性检验的几何意义姚菊香王盘兴鲍学俊卢楚翰，,,(. 1南京信息工程大学大气科学学院，江苏南京 2 0 4 2上海市气象信息传媒中心， 104;.上海 203 ) 00 0

摘要：几何学角度阐明了相关系数显著性检验的意义。对于来自正态分布的样本，用其距平序从利列对应的随机向量在高维空间中均匀分布的性质，母体无相关假定下，在用几何方法求得了显著性水平和样本容量 n下的临界相关系数的表达式，并验证了它等于由 t布求得的临界相关分系数 r,而给出了相关系数显著性检验的直观理解。 从 关键词：关系数；著性检验；相显几何意义中图分类号： 2 2 1 0 1 .文献标识码： 文章编号：0 02 2 ( 0 7 0 -5 60 A 10—0 2 2 0 ) 40 6 -5

G e m e rc M e n n ft e S g fc n e o t i a i g o h i n i a c i Te t o r e a i n Co f c e t s f Co r l to e i in YA u xa g, NG P nxn B e u L h—a O J—in WA a—ig, AO Xu - n, U C uh n j( . co l f t shr c ne, S Naj g 20 4 C ia 1S ho Amop ei Si csNUIT, ni 10 4, hn; o c e n2 S a g a Meeoo i l daC ne, h n h i 2 0 3 C ia . h n h i t lgc r a Me i e tr S a g a 0 0 0, hn )

Ab t a t An l sso o r l to o f ce ti d l e n t e s d h r-e m l t ra i s r c: a y i f c rea i n c e i in s wi ey us d i h t y ofs o tt r ci u ma e vai t on a d p e ito Th a i g o h i n fc nc e to o eai o f ce ti l cd td fom e me. n

r d ci n. e me n n ft e sg i a e t s fc r l t i on c e i n se u i ae r i go t rc a g e Ba e o t e c a a tr t a e so ha tc v c o s c re p n i g t e a omay s q e c i n l . s d n h r c e tt t c si e t r o s o d n o t n h h h h l e u n e of h a l swi a n m ld srb to u io ml iti u e i i i n i n s a e, u po i t t e s mp e t or a iti u i n, n f r y d srb t n t e h gh d me so p c s p sng t a h h h

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h o d t so i i a e l v lO n a l a a iy n wa b an d by t t d fg omer t e c n i on f sgnfc c e e/a d s mp e c p ct s o ti e e me o s o e i i n h h ty. Th tt e r a h e uast e c i c lc re ai n c e ce t q l o t rt a o l t o f i n h i o i,

oba n d fo td sr u i sv l td. ti e r m - itb t on wa a i e da

S e i t ii e u d rt n i g o e sg fc c e to o eai n c e c e s g v n. o t n u tv n e sa d n ft i ni a e ts fc r l t o m inti i e h h i n o

Ke r s: o e ai n c f ce t sg i c c e t g o ti a i g y wo d c r lto oe i n;i n f a e ts; e me rc me n i i n n

0引言 在短期气候变化及其预测研究领域，于研究由

相关系数 r示成 n维欧氏空间 (为 )表记中两个

向量间夹角的余弦，几何学的角度改写了 r表从的达式，阐明了 r的几何意义。研究表明，

几何学角从度观察、理一系列气象学中的问题¨。,两个处 如 场之间相似性问题¨较之从统计学角度更为明 ,晰、洁。本文从几何学角度分析并阐明相关系数简显著性检验的意义。这种分析有助于对气象统计学问题的理解，从而提高解决短期气候异常分析和预测实际问题的能力。

对象间关系的复杂性，量分析工作仍只能在线性大相关的层面进行¨。 4。气象上，在研究青藏高原地表温度对华北汛期降水变化的影响 j中国西南汛期、降水的振动和分布及其与印度洋海温异常的关系、华北夏季降水与哈得孙湾海冰的关系 J西、北地区东部夏季温度特征及与热带 S T的相关关 SA

系时，都用到线性相关的分析方法。在线性相关分析中，关系数的显著性检验是据样本相关系数相 r计母体相关与否的方法。对此，计学教科估统

1 r的几何实质 由文献[21]知，机变量 x, 1—3可随 y的一对容量为 n的样本

书

已有严格论证和系统介绍。王盘兴等¨将

收稿日期：0 60 -0改回日期：0 70 -9 20 -62; 2 0 -32

基金项目：国家自然科学基金重点资助项目(0 3 0 8 46 3 1 )作者简介：姚菊香 (9 0 )女， 18一，江苏通州人，助教，硕士，研究方向：短期气候预测， y o 2 .on j a@16 cr. x

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第 4期

姚菊香，:关系数显著性检验的几何意义等相f Y,: 1,…, ,fi 2, n,

57 6

( 2,显著性检验的统计意义¨ .按文献[]当样本 ( )自于正态无相关母体 9, 1来 X,, Y时其样本相关系数 r的概率密度函数为() 3, r:! ()1 T

可看作中的一对随机向量x -= ( 1 2… )= ( 1 2 x, Y Y

根据文献[8, 1]它们可分解为=x+, Y=+Y。

( 1一r n Z-( 2 In 1一z一 d - 4 2 )丁 z 1。

() 9

-0

式中：值向量，均的每个分量为

作变换

吉，夕 y 音 r。距平向量， Y的每个分量为= f, Yf Y一 一 f。

( 4 )() 5,、

f≥,可得 t的概率密度函数为1 1 1

() 1 0’

由文献[ 2可知，, )=0 ( Y )=, 1] ( ,, 0故 j -, Yj -。又由于，与中的幺向量 e=( 11…1 )共线，故，在中垂直于 e的子空间 Y落一

”而

\ 2’ 2, 1十 J

( n

( ) 1 1

1空间);维中它们的交角=(,的余弦为 Y),

则t服从自由度为 n一 2的学生氏 t布]分。在给定显著性水平 o(通常是一个小量， o:0 0, t它如 t . 1 0 0 ),对样本容量 n可由 g的概率分布函数 .5下针，P Il )=O计算出 t临界值 t并据 ( 0) (≥f t, t的 1.

Y的相关系数，即

r=CSX,。 O( Y )定义标准化向量’,

() 6

,

’

。。

() 7

式求得 r的临界值=.

标准化使 l l= l l I 1 1 j=1故，的矢端均 ,

t 2二 l n(一2)+,

( 2 1)

落在

中单位半径球面 (维数为 n一 );其 2上而标 r=c s2, ) o( 。 () 8

准化不改变 X,的方向， Y 故得 r的另一表达式： 图 1分别给出了中，的分解及 Y

它使P( rI r )=o I≥ a t。.

(3 1)

因为 o是小量，在一次试验中出现 l l r. t故 ≥ 0 r 是小概率事件。根据实际推断原理 若在一次试 m,验中出现 I l a则可在显著性水平 o下否定“ ≥r r t样b

(

)中， , ) Y ( 的交角，的余弦即为 r。

,

\

一

图 1相空间中， Y的分解的几何示意图(折线：向量垂直；弧线：向量交角 )aE;. . b ( )Fi Ge m erc g a o he d c m p ii a i a e s a e g.1 o ti r ph f r t e o oston of ndY n ph s p c

( lo a l e r h— g;r: g f n r c o f etr) o p y nl i:g t l ac a l o t s t no c s n i a e n n e ie e i v o a;. . b

( ) E

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