同济第五版高数习题答案

习题7-1

1. 设u=a b+2c, v= a+3b c. 试用a、b、c表示2u 3v .

解 2u 3v =2(a b+2c) 3( a+3b c)=2a 2b+4c+3a 9b+3c=5a 11b+7c .

2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分, 试用向量证明这是平行四边形. 证明 ; ,

而, ,

所以.

这说明四边形ABCD的对边AB=CD且AB//CD, 从而四边形ABCD是平行四边形.

3. 把ΔABC的BC边五等分, 设分点依次为D、D、D、D, 再把各分点与点A连接. 试以、

1

2

3

4

表示向量、、A3、A4.

解

, , ,

.

4. 已知两点M(0, 1, 2)和M(1, 1, 0). 试用坐标表示式表示向量及.

1

2

解 , .

5. 求平行于向量a=(6, 7, 6)的单位向量. 解

,

平行于向量a=(6, 7, 6)的单位向量为 或 . 6. 在空间直角坐标系中, 指出下列各点在哪个卦限？ A(1, 2, 3); B(2, 3, 4); C(2, 3, 4); D( 2, 3, 1).

解 A在第四卦限, B在第五卦限, C在第八卦限, D在第三卦限.

7. 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置:

A(3, 4, 0); B(0, 4, 3); C(3, 0, 0); D(0, 1, 0).

解 在xOy面上, 的点的坐标为(x, y, 0); 在yOz面上, 的点的坐标为(0, y, z); 在zOx面上, 的点的坐标为(x, 0, z).

在x轴上, 的点的坐标为(x, 0, 0); 在y轴上, 的点的坐标为(0, y, 0), 在z轴上, 的点的坐标为(0, 0, z).

A在xOy面上, B在yOz面上, C在x轴上, D在y轴上.

8. 求点(a, b, c)关于(1)各坐标面; (2)各坐标轴; (3)坐标原点的对称点的坐标.

解 (1)点(a, b, c)关于xOy面的对称点为(a, b, c); 点(a, b, c)关于yOz面的对称点为( a, b, c); 点(a, b, c)关于zOx面的对称点为(a, b, c).

(2)点(a, b, c)关于x轴的对称点为(a, b, c); 点(a, b, c)关于y轴的对称点为( a, b, c); 点(a, b, c)关于z轴的对称点为( a, b, c).

(3)点(a, b, c)关于坐标原点的对称点为( a, b, c).

9. 自点P(x, y, z)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线, 写出各垂足的坐标.

解 在xOy面、yOz面和zOx面上, 垂足的坐标分别为(x, y, 0)、(0, y, z)和(x, 0, z).

00

在x轴、y轴和z轴上, 垂足的坐标分别为(x, 0, 0), (0, y, 0)和(0, 0, z).

10. 过点P(x, y, z)分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面, 问在它们上面的点

的坐标各有什么特点？

解 在所作的平行于z轴的直线上, 点的坐标为(x, y, z); 在所作的平行于xOy面的平面上,

点的坐标为(x, y, z).

11. 一边长为a的立方体放置在xOy面上, 其底面的中心在坐标原点, 底面的顶点在x轴和y轴上, 求它各顶点的坐标. 解 因为底面的对角线的长为

,

,

, 所以立方体各顶点的坐标分别为

,

,

,

,

, . 12. 求点M(4, 3, 5)到各坐标轴的距离.

解 点M到x轴的距离就是点(4, 3, 5)与点(4, 0, 0)之间的距离, 即

.

点M到y轴的距离就是点(4, 3, 5)与点(0, 3, 0)之间的距离, 即

.

点M到z轴的距离就是点(4, 3, 5)与点(0, 0, 5)之间的距离, 即

.

13. 在yOz面上, 求与三点A(3, 1, 2)、B(4, 2, 2)和C(0, 5, 1)等距离的点. 解 设所求的点为P(0, y, z)与A、B、C等距离, 则

,

,

.

由题意, 有 ,

即

解之得y=1, z= 2, 故所求点为(0, 1, 2).

14. 试证明以三点A(4, 1, 9)、B(10, 1, 6)、C(2, 4, 3)为顶点的三角形是等腰三角直角三角形.

解 因为

所以, .

因此ΔABC是等腰直角三角形. 15. 设已知两点 解

,

,

;

;

2

, ,

,

和M(3, 0, 2). 计算向量的模、方向余弦和方向角.

;

, , .

16. 设向量的方向余弦分别满足(1)cosα=0; (2)cosβ=1; (3)cosα=cosβ=0, 问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？

解 (1)当cosα=0时, 向量垂直于x轴, 或者说是平行于yOz面. (2)当cosβ=1时, 向量的方向与y轴的正向一致, 垂直于zOx面.

(3)当cosα=cosβ=0时, 向量垂直于x轴和y轴, 平行于z轴, 垂直于xOy面. 17. 设向量r的模是4, 它与轴u的夹角是60°, 求r在轴u上的投影. 解

.

18. 一向量的终点在点B(2, 1, 7), 它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4, 4, 7. 求这向量的起点A的坐标.

解 设点A的坐标为(x, y, z). 由已知得

,

解得x= 2, y=3, z=0. 点A的坐标为A( 2, 3, 0).

19. 设m=3i+5j+8k, n=2i 4j 7k和p=5i+j 4k. 求向量a=4m+3n p在x轴上的投影及在y轴上的分向量.

解 因为a=4m+3n p=4(3i+5j+8k)+3(2i 4j 7k) (5i+j 4k )=13i+7j+15k, 所以a=4m+3n p在x轴上的投影为13, 在y轴上的分向量7j .

习题7 2

1. 设a=3i j 2k, b=i+2j k, 求(1)a b及a×b; (2)( 2a) 3b及a×2b; (3)a、b夹角的余弦.

解 (1)a b=3×1+( 1)×2+( 2)×( 1)=3,

. (2)( 2a) 3b = 6a b = 6×3= 18, a×2b=2(a×b)=2(5i+j+7k)=10i+2j+14k .

(3) .

2. 设a、b、c为单位向量, 且满足a+b+c=0, 求a b+b c+c a . 解 因为a+b+c=0, 所以(a+b+c) (a+b+c)=0, 即 a a+b b+c c+2a b+2a c+2c a=0, 于是

1

2

3

.

3. 已知M(1, 1, 2)、M(3, 3, 1)和M(3, 1, 3). 求与、同时垂直的单位向量.

解 , .

,

,

为所求向量.

4. 设质量为100kg的物体从点M(3, 1, 8)沿直线称动到点M(1, 4, 2), 计算重力所作的功(长

1

2

度单位为m, 重力方向为z轴负方向).

解F=(0, 0, 100×9. 8)=(0, 0, 980), .

W=F S=(0, 0, 980) ( 2, 3, 6)=5880(焦耳).

5. 在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为x的点P处, 有一与成角

θ

1

1

1

的力F作用着;

1

在O的另一侧与点O的距离为x的点P处, 有一与成角

θ

2

2

1

的力F作用着. 问θ、θ、x、

1

1

2

1

x、|F|、|F|符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？

2

1

2

解 因为有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零, 再注意到对力矩正负的规定可得, 使杠杆保持平衡的条件为 x|F| sinθ x|F| sinθ=0,

11

11

11

22

22

22

即 x|F| sinθ=x|F| sinθ.

6. 求向量a=(4, 3, 4)在向量b=(2, 2, 1)上的投影.

解

. 7. 设a=(3, 5, 2), b=(2, 1, 4), 问λ与μ有怎样的关系, 能使得λa+μb与z轴垂直? 解 λa+μb=(3λ+2μ, 5λ+μ, 2λ+4μ), λa+μb与z轴垂 λa+μb ⊥k

(3λ+2μ, 5λ+μ, 2λ+4μ) (0, 0, 1)=0, 即 2λ+4 …… 此处隐藏：2409字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……