量子力学基础与积算符

量子力学基础积算符核磁共振

陈林 2011年11月8日

量子力学基础积算符核磁共振

Contents

1 2 3和

量子力学基础 常用算符常用算符演化

量子力学基础积算符核磁共振

量子力学基础两种NMR理论工具： 经典磁化矢量模型——Bloch方程 优势：直观，直接处理磁化矢量M 缺点：只适用于无自旋偶合，无四极矩偶合的单自旋系统dM dt (M B ) 弛 豫 项

量子模型——密度算符

优势：可以处理复杂的演化过程缺点：用密度算符运动方程来描述自旋系统的态随时间的演变， 不直观

量子力学基础积算符核磁共振

描述经典粒子与量子粒子的区别经典粒子 量子粒子 力学量(如位置)不确定， 只有平均值确定 2 3 r (r , t ) d r r (t ) 2 3 (r , t ) d r

确定的力学量 p,q, (能量、动量，角动量)

讨论关于力学量F的 经典力学规律， 如E=T+V 力学量

讨论关于力学量平均值 <F>的量子力学规律， 如 <E> = <T> + <V>算符

量子力学基础积算符核磁共振

波函数波函数：表示物理体系的状态 Ψ (r,t):为一个复数，本身无物理意义，它的意义通过|Ψ(r,t)|2来定义。 |Ψ (r,t)|2 :表示在 t 时刻 r 点 处的几率密度。 |Ψ (r,t)|2 dV:表示在 t 时刻 r 点 处，体积元 dV 中找到粒子的几率。 性质： 归一化： * d v 1

态叠加原理：

c k k 1

n

k

内积： , * d Dirac符号：

, , *

D ira c 将 右 因 子 波 矢 量 记 为 ： | > 将 左 因 子 波 矢 量 记 为 ： < | 则 内 积 ,

< | >

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算符算符：表示物理体系中的物理量，也称为作用量性质： (1) 算 符 相 等 ： A B 对 于 任 意 的 波 函 数 都 成 立 ， 则 A B ( 2 ) 算 符 相 加 ( 满 足 交 换 律 与 结 合 律 ) : A B A B (3) 算 符 乘 积 ( 运 算 一 次 从 右 到 左 进 行 ) : A B 注 意 算 符 的 乘 积 一 般 不 能 互 换 即 ： AB BA ( 4 )算 符 对 易 定 义 ： A , B A B B A, 若 A , B 0 即 A B B A 则 称 为 算 符 A , B 对 易

A B

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对易算符的性质对易关系的运算性质： (1) A , B B , A (2) A, B C A, B A, C (3) A , B C B A , C A , B C A B , C A B , C A, C B Ix 1 0 2 1 1 0 2 i 1 0 i 0 0 1

脉冲序列常用对易关系：(1) I , I iI ( , , 是 x , y , z的 循 环 置 换 )

I y , I z iI x ,

I z , I x iI y

, I y , I x iI z

Iy

(2) I , S 0 ( I , S 代 表 不 同 自 旋 核 的 自 旋 密 度 算 符 ) (3) I , I z S z I z I , S z I , I z S z I , I z S z

Iz

1 1 2 0

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量子力学基础本征值与本征函数：力学量在某个态下可以精确测量得到某个确切的值，则这个态叫本征态， 相应的函数叫本征函数，测量得到的值叫本征值

力学平均量：2 A | | A d * A d * A d , A | A |

厄米算符：量子力学中的力学量用算符来表示，而实验上的可观测的物理 量用厄米算符来表示

A A

在体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为实数。A A d *

( , A )

* ( , A ) A *

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自旋角动量算符的矩阵表示 Pauli自旋矩阵的表示(单自旋1/2系统的自旋角动量 算符矩阵表示):Ix 1 0 2 1 1 0 Iy 1 0 2 i i 0 Iz 1 1 2 0 0 1

和 是两个自旋态，构成自旋态空间的一组正 交完备基 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1

1 0

0 1 0 1 1

1

1

0

1

1

0

0

1 1 0

0

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I=1/2二自旋IS系统的自旋角动量 0 1 1 1 0 Fx I x S x 2 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 单位矩阵

=I x E E S xKronecker乘积，定义如下： a1 1 B ... a m1 B a1 2 B ... am 2 B ... ... ... a1 n B ... amn B

0 -1 -1 0 1 0 0 -1 i Fy I y S y 2 1 0 0 -1 0 1 1 0

matlab指令：kron

1 0 0 0 Fz I z S z 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 -1

量子力学基础积算符核磁共振

密度算符密度算符为量子力学的动力学系统提供了最方便的描述。它处理 自旋系统的态，然后求得最后观测的信号。力学量平均值(即观 测量)都可以通过密度算符来求解，密度算符可以代替态矢量来 描述态的性质，A | A |

m

Cm m | A Cn | n * n

m n

C mC n m A n *

令 nm n | P | m C n C m*

其 中 C n n | , C m m |

A= m

n|P |mn

m A n

nn

P

A n Tr (PA)

量子力学基础积算符核磁共振

密度算符纯态情形：A | A |

|kk

k | 1

混合态情形：A

Pl 1 n l 1 n

n

l

l | A | l l | k k | A | l k | A | l l | k n

k k

| k k | A | | k

Pk

l

k | A | k

Pl 1 k

l

k | A | k

k | A | k l 1

l

Pl l |k

Tr( A ) 其 中 | | 密 度 算 符

k | A | kk

Tr( A ) 密度算符

其中

| L 1

n

l

Pl l |

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密度算符密度算符的运动方程(随时间变化方程): l L 1 d i | H | i [H , ] t dt i | H | t

|

n

Pl l |

密度算符运动方程

若H不显含时间，得到解的形式：

(t ) e

iH t

(0 ) e

iH t

因此只要知道H与初始状态的密度算符，我们可以求解到任何时刻的密度 算符，得 …… 此处隐藏：2065字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……