高二下数学同步训练:组合(3)

xj?xk

数按从小到大的顺序组成一个数列?an?，记该数列的各项和为S， （1）指出这个数列共有多少项？ （2）试证：S?6.

21．（12分）A?{a1,a2,a3,a4,a5}

（１）能构成多少个从A到A的映射？（２）能构成多少个从A到A的一一映射？

（３）能构成多少个从A到A的映射，且恰有一个元素无原象？22．（14分）从1，2，3，?，20这20个自然数中，每次任取3个数， （1） 若3个数能组成等差数列，则这样的等差数列共有????????个；若组成等比数列，则

这样的等比数列共有????????个; （2） 若3个数的和是3的倍数，则这样的数组有????????个；若其和是大于10的偶数，则这

样的数组有????????个； （3） 若所取三数中每两个数之间至少相隔两个自然数，则这样的数组有????????个．

参考答案

一、选择题

1A 2C 3C 4D 5C 6D 7C 8C 9C 10C 11A 12D

4412222

4解：D C5． A4?C35C3C3A2?C5A2?320

42C6C4

5解：?45． 2

A2

二、填空题 13．解：８４；

14．解：形如“*0*”、“*1*”、“*2*”、“*3*”、“*4*”、“*5*”、“*6*”、“*7*”的数一共有：

2222222

； A9?A8?A7?A6?A5?A2?A?A432?240233

15．解：A3A3?A13A3?54;

416．解：C3 5?C5?15.

三、解答题

17．解：A．B．C三人互不相邻的排法共有A5

5（8分）所以共有符合条件的排法

A

44

3

种，（4分）其中D．E相邻的有（6

2

A

44

3

）A2A5种，

2

AA

5

53

-（6

AA

）2

A

35

=11520种．（12分）

18．解： 由于后面的每位数字都是它前面的两位数字的和，因此每个这样的自然数完全被它的前两位

数字决定。题目的第二个条件说明，当前两位数字固定时，我们要求这样的数尽可能大，既符合题设条件的数只有一个．为保证位数至少有三位，最前面的两位数字的和应当不超过9。因此当首位数字依次为1，2，...，8，9时，第二位数字分别有9，8，...，1种可能，合计为(1+9)*9/2=45个．（12分） 19．解：4=2+2+0+0=2+1+1+0=1+1+1+1.所求的不同映射有C4

3120．解：（1）这个数列共有C4（6分） C3?12项；

2

?A2（12分） 4?1?19种．

(2)S=(

?x1?x4x3?x2?x3?x4x1?x2x?x4x1?x3

??)?(2?)?????x1?x2x3?x4x1?x3x2?x4?x3?x2x1?x4?

5

?2?2?2?6.（12分）

2

4

21解：（１）5； （4分） （２）A5（12分） 5； （8分） （３）C5?A5．

22解：（1）设A=?1,3,5,???,19?,?B??2,4,???,20?，从A或B中任取两个数总可作等差数列的第一，二

22

项，且等差中项唯一存在，因此所求的等差数列共有2(C10?C10)?180个．用列举法：公比是3或

1

3

的等比数列有4个；公比是2或是4或（2）设

1

的等比数列有10个；公比 2

1

的等比数列有2个，共有等比数列16个．（4分） 4

A0??3,6,???,18?,A1??1,4,??????,19?，A2??2,5,???,20?，则从每个集合中任取3个数，或每

个集合中各取1个数，其和必是3的倍数，故所求的数组共有

33111

C6?2C7?C6C7C7?384个；

1,3,5,???,19?,?B??2,4,???,20?，则从中取3个数且和为偶数的取法有 又设A=?

312

其中3个数的和不大于10的有6个。故合条件的数组共有570–6=564个．（9C10?C10C10?570种，

分）

（3）运用如下模型：将3个黑球与19个白球排成一排，且每个黑球右边各连排两个白球分别形成一个

3

“位置”，这样只有13个白球与3个“黑白球组合”排在16个“位置”上，排法有C16，对每种排法

中的前20个球从左至右赋值1，2，?，20，则三个黑球上的数即为取出的数，因此所取的数组共有

3

（14分） C16?560个．