第10节二维随机变量的边缘分布

来源：网络收集时间：2026-08-31

导读：概率论与数理统计教程第二章随机变量及其分布2.10 二维随机变量的边缘分布概率论与数理统计教程(第四版) 目录上一页下一页返回结束概率论与数理统计教程 2.10 二维随机变量的边缘分布对于二维随机变量 ( X , Y ) ,我们可以对其中的任何一个变量 X

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第二章随机变量及其分布§2.10 二维随机变量的边缘分布

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§2.10 二维随机变量的边缘分布

对于二维随机变量 ( X , Y ) ,我们可以对其中的任何

一个变量 X 或 Y 进行个别研究,而不管另一个变量取什么值,这样得到的分布,称为 ( X , Y ) 的边缘概率分布边缘概率分布. 边缘概率分布

问题：已知联合分布,求边缘分布.

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§2.10 二维随机变量的边缘分布

1.二维离散随机变量的边缘分布 1.二维离散随机变量的边缘分布设 ( X , Y )表示二维离散随机变量.联合分布为：L p ( xi , y j ) = P( X = xi , Y = y j ), i = 1,, 2,, L ,, m,,L.; j =1 2 L n [ X 的边缘概率函数 ] ∞ pX (xi ) = P( X = xi ) = P ∑ ( X = xi , Y = y j ) ∞ j =1 = ∑ P ( X = xi , Y = y j )

= ∑p(xi , yj ), i = 1, 2, L, m, L .j=1概率论与数理统计教程(第四版)目录上一页下一页返回结束

j =1 ∞

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§2.10 二维随机变量的边缘分布

于是 X 的边缘分布表为：

x1 x2 X P ( X = xi ) p X ( x1 ) p X ( x2 )类似可得,

L L

xm p X ( xm )

L L

[Y 的边缘概率函数 ]

pY ( yj ) = P(Y = yj ) = ∑p(xi , yj ).i=1

∞

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§2.10 二维随机变量的边缘分布

[例 1] 已知 ( X , Y ) 的联合分布表为XY

0 1

0 1 / 121/ 3

11/ 6

5 / 12

求 X 与Y 的边缘分布. 1 1 1 1 5 3 解 : P( X = 0) = + = ; P ( X = 1) = + = . 12 6 4 3 12 4则 X 的边缘分布表为：X p X ( xi )概率论与数理统计教程(第四版)

0 14目录

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§2.10 二维随机变量的边缘分布

类似可得Y 的边缘分布表为：Y

05 / 12

17 / 12

pY ( y j )

将它们写在联合分布表上,即得下表 :XY

01 / 12

11/ 65 / 127 / 12

p X ( xi )

1/ 4

1pY ( y j )

1/ 35 / 12

3/ 4

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§2.10 二维随机变量的边缘分布

2.二维连续随机变量的边缘分布 2.二维连续随机变量的边缘分布设二维连续随机变量 ( X , Y ) 的联合分布函数为 F ( x, y ), 联合密度函数为 f ( x, y ) . [ X 的边缘分布函数 ] FX (x) = P ( X ≤ x) = P( X ≤ x, Y < +∞) = F ( x,+∞)

= ∫ dx ∫ f ( x, y ) d y. ∞ ∞

+∞

[ X 的边缘概率密度 ] +∞ d f X (x) = FX (x) = ∫ ∞ f ( x, y ) d y. dx概率论与数理统计教程(第四版)目录上一页下一页返回结束

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§2.10 二维随机变量的边缘分布

同理可得,

[Y 的边缘分布函数 ]y ∞

FY ( y ) = F (+∞, y ) = ∫ d y ∫ f ( x, y ) d x. ∞

+∞

] [Y 的边缘概率密度+∞ d fY ( y ) = FY ( y ) = ∫ f ( x, y

) d x. ∞ dy

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§2.10 二维随机变量的边缘分布

[例 2] 设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度为: 4.8 y (2 x), 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ x; f ( x, y ) = 0, 其它. y 求 f X ( x), fY ( y ) . y=x解 : (1) 当 x < 0 或 x > 1 时，xx x

f X ( x) = ∫ f ( x, y )d y = 0; ∞ ∞x

+∞

当 0 ≤ x ≤ 1 时， +∞ x f X ( x) = ∫ f ( x, y )d y = ∫ f ( x, y )d y0

= ∫ 4.8 y ( 2 x)d y = 2.4 x 2 (2 x) . 0概率论与数理统计教程(第四版)目录上一页下一页返回结束

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§2.10 二维随机变量的边缘分布

从而

2.4 x 2 (2 x), 0 ≤ x ≤ 1; f X ( x) = 其它. 0,y

( 2) 当 y < 0 或 y > 1 时,fY ( y ) = ∫ f ( x, y )d x = 0; ∞ +∞

y=x

当0 ≤ y ≤ 1 时,

fY ( y ) = ∫ f ( x, y ) d x = ∫ f ( x, y ) d x = ∫ 4.8 y ( 2 x)d xy

+∞

∞ 1

= 2.4 y (3 4 y + y 2 ) .概率论与数理统计教程(第四版)目录上一页下一页返回结束

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§2.10 二维随机变量的边缘分布

从而

2.4 y (3 4 y + y 2 ), 0 ≤ y ≤ 1; fY ( y ) = 其它. 0,

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§2.10 二维随机变量的边缘分布

[例 3] 设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度为: 例 y e y , 0 < x < y ; f ( x, y ) = y=x 其它. 0, x 求 f X ( x), fY ( y ) . 解 : (1) 当 x ≤ 0 时, f X ( x) = 0; x x O当 x > 0 时， +∞ +∞ f X ( x) = ∫ f ( x, y )d y = ∫ f ( x, y )d y=∫从而 ∞ +∞ yx x e dy = e .

e x , f X ( x) = 0,

x > 0;

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§2.10 二维随机变量的边缘分布

( 2) 当 y ≤ 0 时, fY ( x) = 0;

y=x

当 y > 0 时，

fY ( y ) = ∫ f ( x, y ) d x

+∞

=∫从而

∞ y y0

= y e y . e dx

y e y , y > 0 ; fY ( y ) = 其它. 0,

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§2.10 二维随机变量的边缘分布

小结1. 边缘分布的含义,研究边缘分布的目的. 2. 二维连续随机变量的边缘分布的计算公式与具体求法： +∞ f X ( x ) = ∫ f ( x, y ) d y ,

fY ( y ) = ∫

∞ +∞

∞

f ( x, y ) d x.

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§2.10 二维随机变量的边缘分布

思考题设有两个二维随机变量 ( X , Y ) 和 (U ,V ),它们的联合

概率密度分别为 x + y, 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1; ( x, y ) = 其它, 0,

(u + 1 )(v + 1 ), 0 ≤ u ≤ 1,0 ≤ v ≤ 1; ψ (u, v) = 2 2 0, 其它. 说 …… 此处隐藏：2570字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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