《工程试验技术》第四章-振动与波动理论基础(下-波动理论)

第四章、振动与波动理论基础(下)一、一维波动理论—反射波法检测原理1、基本方程：在不考虑土影响情况下，当桩长L远大于桩径时，锤击产生的应力波近似一维传播

u 2 u c= 0 2 2 t x2 2

u xtC= Eρ

桩身质点的振动位移。分别为空间和时间坐标。一维弹性纵波在桩身中的传播速度。

2、一维杆件波动定解问题的行波解法2 2u 2 u, t> 0, x∈ R 2=c 2 t x u ( x, t )= ( x ) t=0 u ( x, t )=ψ ( x ) t=0 t

当杆件上分布有初始变形：φ(x)和初始速度：ψ(x)

先求得特征方程为

根据特征线作变量变换

dx 2 ( ) c2= 0 dtx ct= k 1 x+ ct= k 1

ξ= x ct,η= x+ ct方程改写为

特征线为

2u= 0 ξ η

推导具体过程如下：2 2u 2 u c=0 2 2 t x

ξ= x ct(A)

η= x+ ct

复合函数求导

u u u=+ x ξ η 2u 2u 2u 2u=+2+ (B) 2 2 x ξ ξ η η 2(B)、(C)代入(A)

u u u= c + t ξ η 2 2 2 u u u 2u 2 c 2= + ξ 2 t 2 ξ η η 2

2u= 0 ξ η

(C)

u= 0 ξ η2

函数 F,G具体形式，由初值条件确定：

u= F * (ξ ) ξu (ξ,η )=* F∫ (ξ )dξ+ G (η )

u( x,0)= ( x)

(初始位移)

F ( x)+ G( x)= ( x)

ut ( x,0)=ψ ( x)= F (ξ )+ G (η )

(初始速度)

a[ F′( x)+ G′( x)]=ψ ( x)a[ F ( x)+ G( x)]+ k=∫ψ (α )dαx0 x

u ( x, t )= F ( x ct )+ G ( x+ ct )

此即为原方程的通解。

其中 x0为任意一点，而k为积分常数，

F ( x)+ G( x)= ( x) 1 x C F ( x)+ G( x)=∫ψ (α )dα a x0 a1 1 x C F ( x)= ( x) ∫ψ (α )dα+ 2 2a x0 2a 1 x C 1 G( x)= ( x)+∫ψ (α )dα 2 2a x0 2a达朗贝尔公式

u( x, t )=

( x at)+ ( x+ at)2

1 x+at+∫ψ (α )dα 2a x at

3、一维杆件的行波特征对于

y= F(x c t)当t=Δt时 y= F(x c Δt)

当 t= 0时 y= F(x)峰值位置: x= x0

峰值移到: x= x0+ c Δt

yF(x ) 0

y= F(x+ c Δt c Δt)= F(x ) 0 0

F(x ) 0

t=0

t=Δt

o

c Δtx0

x似乎波以速度C向右行走，故称“行波”

c Δt

对桩而言，取下图坐标，此时0

y= F(x c t) y= G(x+ c t)

表示以速度C向下行进的波，称“下行波”

用 u↓表示

表示以速度C向上行进的波，称“上行波”

用 u↑表示

上面两种行波都是位移波下行的速度波：下行的力波：

u↓ F(x ct) v↓=== c F′ t t

u↓ F(x ct) p↓= EA= EA= EA F′ x x下行的力波和速度波的关系为：

EA p↓=

v↓=ρAC v↓= Z v↓ c

0

y= G(x+ c t)上行的速度波：上行的力波：

用 u↑表示

u↑ G(x+ ct) v↑=== c G′ t t

u↑ G(x+ ct) p↑= EA= EA= EA G′ x x上行的力波和速度波的关系为：

EA p↑= v↑= ρAC v↑= Z v↑ c结论：杆件(桩)中的一维波动(振动)可以分解为两个传播方向相反，但传播速度相同的两列独立的“行波”,波形由初始条件决定。

4、波在杆件端部的反射情况(1)、固定端的反射1)、速度波：由于杆件固定端不能有位移，因此总速度也必须为零，所以

v↑+ v↓= 0∴ v↑ (反射)= v↓ (入射)即固定端对速度波产生一个大小相等，符号相反的反射 2)、力波：利用固定端总速度为零及速度波与力波关系得

p↑= Z v↑和 p↓= Z v↓

v↑+ v↓= 0

p↑ p↓∴ +=0 Z Z

∴ p↑ (反射)= p↓ (入射)

即固定端对力波产生一个大小相等，符号相同的反射

(2)、自由端的反射1)、力波：由于杆件自由端不受力，因此总力波为零，所以

p↑+ p↓= 0∴ p↑ (反射)= p↓ (入射)即固定端对力波产生一个大小相等，符号相反的反射 2)、速度波：利用自由端总力波为零及速度波与力波关系得

p↑= Z v↑和 p↓= Z v↓∴ zv↑+ zv↓= 0

p↑+ p↓= 0

∴ v↑ (反射)=v↓ (入射)

即自由端对速度波产生一个大小相等，符号相同的反射

5、波在杆件阻抗变化界面处的反射、透射情况波从 Z1入射到根据界面两侧速度波连续和力波平衡条件可得 Z2

V反射+ V入射= V透射 P反射+ P入射= P透射

F下行= Z V下行 F上行= Z V上行

Z1 Z2

V反射+ V入射= V透射 Z1V反射+ Z1V入射= Z 2V透射联解得：

V反射= V=透射

Z1 Z 2 V入射 Z1+ Z 2 2Z 2 V入射 Z1+ Z 2

Z 2 Z1 F反射= Z+ Z F入射 1 2 F= 2 Z1 F透射入射 Z Z+ 1 2

Z=ρ C A

6、界面反射判据：

V反射= V=透射

Z1 Z 2 V入射 Z1+ Z 22Z 2 V入射 Z1+ Z 2

Z1 Z2

当缩径时(Z1≤ Z 2),V反射与V入射同向当扩径时(Z1≥ Z 2),V反射与V入射反向

7、杆件(桩)顶部的速度响应曲线--反射波法判据(1)、均质杆件(完整桩)顶部的速度响应曲线 1)均质杆件(完整桩)下端为自由端

+2v

+2v

时间t

结论：下端为自由端时，桩顶测得的桩尖反射均为与初始激发脉冲同向的反射信号，数值为初始脉冲的两倍

2)均质杆件(完整桩)下端为固定端

+2v -2v

+2v+2v

时间t

结论：下端为固定端时，奇数次桩尖反射均为与初始

激发脉冲反向，偶数次桩尖反射均为与初始激发脉冲同向的反射信号，数值也为初始脉冲的两倍

一次反射

二次反射

嵌岩桩的桩底反射特征

(2)、变截面杆件(变阻抗桩)顶部的速度响应曲线(阻抗减小)

时间

结论：截面阻抗从大到小变化时，界面处反射均为与初始激发脉冲同向的反射信号，数值也为初始脉冲的 Z Z2 2 1 Z1+ Z 2 n