理论力学第六章 点的运动学(Y) (2)

工程运动学与机构运动分析

运动学的力学模型： 点、刚体和刚体系，通称物体。物体的运动不仅与受力有关，还与物体本身的惯性、初始运动状态、约束等因数有关，是一个比较复杂的问题。为 了循序渐进，暂时不考虑影响物体运动的物理因素，而只 研究物体机械运动的几何性质。

运动学的任务：●建立物体运动规律的描述方法； ●分析物体运动的速度、加速度、角速度、角加速度

以及它们之间的关系；●研究物体运动的分解与合成规律。

一、描述点运动的矢量法 二、描述点运动的直角坐标法 三、描述点运动的弧坐标法

研究对象：几何点，称为动点，有时简称为点。

研究任务：研究点在空间运动的几何性质，即点相对于某坐标系运动的运动方程、运动轨迹、速度和加速度。 例如研究图示轮缘上点M的运动，可以看出M点沿摆线运动。

O1

一、描述点运动的矢量法1、运动方程和轨迹研究对象—— 动点M 选定参考空间上的点O为坐标原点 从坐标原点O向动点M作矢量 r

r 为点M相对于原点O的位置矢量——简称为矢径当动点运动时，矢径 r 随时间而变化，且矢径 单值连续函数

r 是时间的

r r t

——矢量表示的点的运动方程

动点在运动过程中，矢径 r 的末端描绘出一条连续 曲线，称为矢端曲线—— M点的运动轨迹

2、速度速度 —— 描述点在t 瞬时运动快慢和运动方向的力学量。 t 瞬时: 矢径

r (t )

t+ t 瞬时: 矢径

r (t t )

t 时间间隔内矢径的改变量

r (t t ) r r (t ) r r (t t ) r (t ) r dr v lim r t 0 t dt速度大小： ——点在t 瞬时的速度

dr v v dt

速度方向:沿着运动轨迹的切线；指向与点的运动方向一致；

3、加速度加速度——描述点在t 瞬时速度大小和方向变化率。 t 瞬时: 速度

v (t ) v (t t )

t+ t 瞬时:速度

t 时间间隔内速度的改变量

v v (t t ) v (t ) v dv a lim v t 0 t dt

dv d r a 2 r dt dt

2

——点在t 瞬时的加速度

矢端曲线

速度矢端曲线

动点M的速度和加速度图

加速度大小： a a v r 加速度的方向：沿速度始端曲线图的切线方向。

二、描述点运动的直角坐标法1、运动方程不受约束的点在空间有3个自由度，在直角 坐标系中，点在空间的位置由3个方程确定：

x = f1(t) y = f2(t) z = f3(t)直角坐标法表示的点的运动方程

2、速度直角坐标与矢径之间的关系

r xi yj zk i y j z k ) ( xi yj zk ) v r (x (Oxyz)为固定参考系—— i 、j、k 为常矢量 i

j k 0 x i y j z k vxi v y j vz k v r

, vy y , vz z vx x点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应 坐标对时间的一阶导数。

dx vx dtdy vy dt

v v v v2 x 2 y

2 z

dz vz dtvx cos(v , i ) v cos(v , j ) vy v vz cos(v , k ) v

3、加速度

v vx i v y j vz k

dv y dv dvx dvz a i j k axi a y j az k dt dt dt dtdvx d 2 x ax 2 dt dt dv y d 2 y ay 2 dt dt dvz d 2 z az 2 dt dtax cos(a , i ) a

a a a a2 x 2 y

2 z

x , a y v y , az v z ax v x y zcos(a , j ) ay a az cos( a , k ) a

三、描述点运动的弧坐标法如果动点沿着已知轨迹运动，用自然法描述点的运动， 物理意义更明确、更直观。

1、点的运动方程坐标原点——一般在轨迹上任选一参考点作为坐标原点； 正、负方向——一般以点的运动方向作为正向；

s = f (t)

——弧坐标表示的点的运动方程

动点M在已知轨迹上的位置由弧长确定， 弧长S 称为动点M在轨迹上的弧坐标。

2、自然轴系

M——空间曲线上的动点；

(1)过点M 作轨迹的切线T ,取 为切线的单位矢量。 过切线T 作一个平面，称为密切面。 密切面的几何意义： 曲线上M点处微小弧长ds 所在的平面； 平面问题：密切面就是曲线所在的平面； 空间问题：密切面随点M而改变。

密切面

(2)过点M 作一平面垂直于切线

,称为法平面。

法平面内所有的直线均垂直于切线。

(3)法平面与密切面的交线，称为主法线N。因为主法线也在法平面内所以也垂直于切线。 取 n 为主法线单位矢量，正向指向曲线的凹侧。 主法线N——密切面内垂直于切线的直线，正向指向曲率中心； 法平面

密切面

(4)过点M ,在法平面内作一直线MB n ,MB 线称为 副法线，取 b 为副法线单位矢量，且满足下式：

b τ n

副法线B——过动点M垂直于切线和主法线的直线。

τ、 n 、 b

构成一个以点M 为坐标原点，并跟随点M

一起运动的直角坐标系，称为自然轴系。

法平面

密切面

τ 、 n 、 b ——自然轴系自然轴系的特点：跟随动点在轨迹上作空间曲线运动。

τ n b

——指向弧坐标S 的正向。 ——指向曲线的凹侧，即指向曲率中心。

b n

法平面

密切面