上海市格致中学2012届高三数学第三轮复习 第2部分 不等式题型整

上海市格致中学2012届高三数学第三轮复习 第2部分 不等式题型整理分析

第二部分 不等式

17、基本不等式a b 2ab,ab (a b2)要记住等号成立的条件与a,b的取值范围.“一2

正、二定、三相等”，“积定和有最小值、和定积有最大值”，利用基本不等式求最值时要考虑到等号是否成立.与函数相关的应用题多有基本不等式的应用.

［举例］已知正数a,b满足a 2b 3，则11 的最小值为＿＿＿＿＿＿. ab

分析：此类问题是典型的“双变量问题”，即是已知两变量的一个关系式，求此两变量的另一代数式的最值（或取值范围）问题.其解决方法一是“减元”，即由关系中利用一个变量表示另一变量代入到所求关系式中，转化为一元函数的最值问题；另一方法是构造基本不等式.由2ba111a 2ba 2b12ba1 等 ( ) (3 ) (3 22)，当且仅当abab3ab3ab3

号成立，此时a 3

2 1,b 3

2 2.

18、学会运用基本不等式：||a| |b|| |a b| |a| |b|.

［举例1］若关于x的不等式|x 1| |x 2| a的解集是R，则实数a的取值范围是＿＿； 分析：由不等式的解集为R，则a大于|x 1| |x 2|的最大值.由绝对值不等式的性质知：|x 1| |x 2| |(x 1) (x 2)| 1，所以a 1.

[举例2]若关于x的不等式|x 1| |x 2| a的解集不是空集，则实数a的取值范围是＿.

分析：|x 1| |x 2| |(x 1) (x 2)| 1，知a 1.

19、解分式不等式不能轻易去分母，通常采用：移项（化一边为零）→通分→转化为整式不等式→化所有因式中的变量系数为正，（即不等式两边同除以变量系数，若它的符号不能确定即需要讨论）→“序轴标根”（注意比较各个根的大小，不能比较时即需要讨论）；解绝对值不等式的关键是“去绝对值”，通常有①利用绝对值不等式的性质②平方③讨论.特别注意：求一个变量的范围时，若分段讨论的也是这个变量，结果要“归并”.

a(x 1) 1(a 0). x 2

(a 1)x (a 2) 0 (x 2)[(a 1)x (a 2)] 0.注意到此分析：原不等式化为：x 2［举例］解关于x的不等式：

不等式二次项系数含有变量，故要讨论.（1）当a 1时，不等式的解集为{x|x 2}；（2）

上海市格致中学2012届高三数学第三轮复习 第2部分 不等式题型整理分析

当0 a 1时，注意到此时对应的二次函数开口向下，对应方程两根x1 2,x2

而a 2，a 1a 21a 2 1 2，此时不等式的解集为(2,)；（3）当a 1时，同样可得不a 11 aa 1

a 2) (2, ). 等式的解集为( ,a 1

20、求最值的常用方法：①用基本不等式（注意条件：一正、二定、三相等）；②二次函数；③单调性；④逆求法（包括判别式法）；⑤换元法；⑥数形结合.一般而言：在用基本不等式求最值因“不相等”而受阻时，常用函数y x a,(a 0)的单调性；求二次函数x

（自变量受限制）的值域，先配方、再利用图像、单调性等；求分式函数的值域（自变量没有限制）常用“逆求”（即判别式法）；求分式函数的值域（自变量受限制）通常分子、分母同除一个式子，变分子（分母）为常数.

［举例1］已知函数f(x) ax

求实数a的值. 321111x的最大值不大于，又当x [,]时，f(x) ，62428

3a2a2a21 a2 1，又此二次函数开口向下，则有分析：f(x) (x ) ，则66236

1f() 4 f(1) 218 a 1.知a 1.注意到：开口向下的二次函数在闭区间上的最小值是区间一18

端点对应的函数值；同样开口向上的二次函数在闭区间上的最大值也是区间一端点对应的函数值.

[举例2]求函数f(x) x 3在区间[ 2,2]上的最大值与最小值. 2x 6x 13

分析：因为函数的定义域不是一切实数，用判别式法所求的结果不一定是正确.可利用换元转化成基本不等式型的应用.设x 3 t，则f(x) t 2t 414t t，t [1,5].当t 2时，

4429取最小值4；当t 5时，t 取最大值.所以函数f(x)在区间[ 2,2]上的最大tt5

15值为，最小值为.注意：此类函数的值域（最值）问题在解几的最值中经常涉及，要429t

能熟练地掌握其解法.

21、遇到含参不等式（或含参方程）求其中某个参数的取值范围通常采用分离参数法，转化为求某函数的最大值（或最小值）；但是若该参数分离不出来（或很难分离），那么也

上海市格致中学2012届高三数学第三轮复习 第2部分 不等式题型整理分析

可以整体研究函数y f(a,x)的最值.特别注意：双变量问题在求解过程中应把已知范围的变量作为主变量，另一个作为参数.

［举例］（1）已知不等式4 a 2 2 0对于x [ 1, ）恒成立，求实数a的取值范围.

（2）若不等式4 a 2 2 0对于a ( ,3]恒成立，求实数x的取值范围.

x分析：（1）由4 a 2 2 0得：a 2 xxxxxx21x2 对于）恒成立，因，x [ 1, x22

x所以2 2x 2，当2 2时等号成立.所以有a 22. x2

xx（2）注意到4 a 2 2 0对于a ( ,3]恒成立是关于a的一次不等式.不妨

设f(a) 2x a (4x 2)，则f(a)在a ( ,3]上单调递减，则问题等价于f(3) 0，

xxx所以4 3 2 2 0 2 2或2 1，则x取值范围为( ,0) (1, ). x