离散数学屈婉玲版课后习题

离散数学 屈婉玲 课后习题答案

第一章部分课后习题参考答案

16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r) 0∨(0∧1) 0

（2）（p r）∧(﹁q∨s) （0 1）∧(1∨1) 0∧1 0.

（3）（ p∧ q∧r） (p∧q∧﹁r) （1∧1∧1） (0∧0∧0) 0 (4)（ r∧s）→(p∧ q) （0∧1）→(1∧0) 0→0 1

17．判断下面一段论述是否为真：“ 是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外

6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: 是无理数 1 q: 3是无理数 0 r:

2是无理数 1

s: 6能被2整除 1

t: 6能被4整除 0

命题符号化为： p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。 19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →( q→ p) （5）(p∧r) ( p∧ q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)

答： （4）

p q p→q q p q→ p (p→q)→( q→ p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式

（5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例）

第二章部分课后习题参考答案

3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) (p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r)

答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r) ( p∨(p∨q))∨( p∨r) p∨p∨q∨r 1 所以公式类型为永真式

(3) P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)

0 0 0 0 0 1

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0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1

所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r) (p→(q∧r))

(4)(p∧ q)∨( p∧q) (p∨q) ∧ (p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r)

( p∨q)∧( p∨r) p∨(q∧r)) p→(q∧r)

（4）(p∧ q)∨( p∧q) (p∨( p∧q)) ∧( q∨( p∧q)

(p∨ p)∧(p∨q)∧( q∨ p) ∧( q∨q) 1∧(p∨q)∧ (p∧q)∧1 (p∨q)∧ (p∧q)

5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值

(1)( p→q)→( q∨p) (2) (p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 解：

（1）主析取范式

( p→q)→( q p)

(p q) ( q p)

( p q) ( q p)

( p q) ( q p) ( q p) (p q) (p q) ( p q) (p q) (p q)

m0 m2 m3

∑(0,2,3)

主合取范式：

( p→q)→( q p)

(p q) ( q p) ( p q) ( q p)

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( p ( q p)) ( q ( q p)) 1 (p q) (p q) M1 ∏(1) (2) 主合取范式为：

(p→q) q r ( p q) q r (p q) q r 0 所以该式为矛盾式.

主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)

矛盾式的主析取范式为 0 (3)主合取范式为：

(p (q r))→(p q r)

(p (q r))→(p q r)

( p ( q r)) (p q r)

( p (p q r)) (( q r)) (p q r))

1 1 1

所以该式为永真式.

永真式的主合取范式为 1

主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)

第三章部分课后习题参考答案

14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明： (2)前提：p q, (q r),r

结论： p

(4)前提：q p,q s,s t,t r 结论：p q

证明：（2）

① (q r) 前提引入 ② q r ①置换 ③q r ②蕴含等值式 ④r 前提引入 ⑤ q ③④拒取式

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⑥p q 前提引入 ⑦￢p（3） ⑤⑥拒取式

证明（4）：

①t r 前提引入 ②t ①化简律 ③q s 前提引入 ④s t 前提引入

⑤q t ③④等价三段论 ⑥（q t） (t q) ⑤ 置换 ⑦（q t） ⑥化简 ⑧q ②⑥ 假言推理 ⑨q p 前提引入 ⑩p ⑧⑨假言推理 (11)p q ⑧⑩合取

15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理： (1) 前提：p (q r),s p,q

结论：s r 证明

①s 附加前提引入 ②s p 前提引入 ③p ①②假言推理 ④p (q r) 前提引入 ⑤q r ③④假言推理 ⑥q 前提引入 ⑦r ⑤⑥假言推理

16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：

(1)前提：p q, r q,r s

结论： p 证明：

①p 结论的否定引入 ②p ﹁q 前提引入 ③﹁q ①②假言推理

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④￢r q 前提引入 ⑤￢r ④化简律 ⑥r ￢s 前提引入 ⑦r ⑥化简律 ⑧r ﹁r ⑤⑦ 合取

由于最后一步r ﹁r 是矛盾式,所以推理正确.

第四章部分课后习题参考答案

3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值: (1) 对于任意x,均有(2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解：

F(x):

2=(x+

)(x

). 2=(x+

)(x

).

G(x): x+5=9.

(1)在两个个体域中都解释为 xF(x)，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。 (2)在两个个体域中都解释为 xG(x)，在（a）(b)中均为真命题。

4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解:

(1)F(x): x能表示成分数 H(x): x是有理数

命题符号化为: x( F(x) H(x)) (2)F(x): x是北京卖菜的人 H(x): x是外地人

命题符号化为: x(F(x) H(x)) 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快.

(3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解:

(1)F(x): x是火车; G(x): x是轮船; H(x,y): x比y快 命题符号化为: x y((F(x) G(y)) H(x,y))

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(2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快 命题符号化为: y(G(y) x(F(x) H(x,y))) 9.给定解释I如下:

(a) 个体域D为实数集合R. (b) D中特定元素=0.

(c) 特定函数(x,y)=xy,x,y D.

(d) 特定谓词(x,y):x=y,(x,y):x<y,x,y D. 说明下列公式在I下的含义,并指出各公式的真值: (1) x y(G(x,y) F(x,y)) (2 …… 此处隐藏：3066字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……