数学建模2线性规划模型与销售计划问题

数学建模2线性规划模型与销售计划问题

逐鹿小站供稿

线性规划模型与销售计划问题

摘 要：这篇文章主要讨论了线性规划模型与销售计划问题。这是在生产和销售中经常提到的问题。通过合理的销售方案以达到更大的经济效益。为解决这样的问题，主要是通过分析建立线性规划模型，然后利用Matlab软件工具箱中求解线性规划模型的函数linprog , 编写Matlab程序，最后就可以求出满足题意的解。 关键词：销售；线性；实际

1

2 3 （2）每月月初进货，需要计算库存费用的商品量为当月月底库存商品量；

（3）只有销售商品收入、买进商品费用、库存费用计入净收益计算公式，而运输费，摊位费等管理费用不计；

（4）每月进货、售货计划商品量相互独立，互不影响。

4 模型原理

线性规划是求一个 函数f x1,x2, xn （称为目标函数）在规定条件 x1,x2, xn A（称为约束条件）下的极大值或极小值问题。

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设线性规划模型的一般式为：

max(min)Z c1x1 c2x2 cnxn （5.1）

a11x1 a12x2 a1nxn , b1

ax ax ax , b2112222nn2

约束条件（s.t.） （5.2）

ax ax ax , b

m22mnnm

m11

xj 0, j 1,2, n

满足约束条件（5.2）的一组数 x1,x2, xn

化为标准型。

线性规划模型的标准型为：

目标函数 max Z c1x1 c2x2 nxn （5.3）

a11x1 a12x2 a1nxn b1

ax ax ax b2112222nn2

约束条件 （s.t.） （5.4）

ax ax2mnn m11

xj0, j n

目标函数 maxZ CX s.t.）

0

a11 21

其中C c1,2,n ，

a m1

a22 am2

a1n

a2n

，

amn

b1 x1 b

B 2 ，X 2 ，X 0是指X的各分量x1,x2, xn 0。

b x m n

5 建立模型

根据线性规划模型的原理和方法，结合题目数据和要求，建立适合本题的模型。 (1)确定决策变量

因为该种商品在7—12月均涉及进货、售货两种计划，令i=1，2，3，4，5，6分别代表7月，8月，9月，10月，11月，12月；令j=1，2分别代表进货计划和售货计划。设

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决策变量Xij为该种商品在第i月的j计划下的数量（件）。

(2)确定目标函数

由题意，6月底存货300件，可知： 7月存货量为 300＋X11－X12;

8月份存货量为 300＋X11－X12＋X21－X22;

9月份存货量为 300＋X11－X12＋X21－X22＋X31－X32;

10月份存货量为 300＋X11－X12＋X21－X22＋X31－X32＋X41－X42;

11月份存货量为 300＋X11－X12＋X21－X22＋X31－X32＋X41－X42＋X51－X52;

12月份存货量为 300＋X11－X12＋X21－X22＋X31－X32＋X41－X42＋X51－X52＋

X61－X62;

为使净收益最大，目标函数为：

Max Z＝29X12－28X11＋27X22－26X21＋26X32－25X31＋＋25X52－

24X51＋25X62－23.5X61－0.5×｛(300＋X11－X12)(300＋X11－X21－X22) ＋(300＋X11－X12＋X21－X22－＋(300＋X11X21－X22＋X31－X32＋X41－X42) ＋－X12＋X21－－X32＋X41－X42＋X51－X52) ＋(300＋X11－X12－X32＋X41－X42＋X51－X52＋X61－X62) ｝ (3)确定约束条件

a.仓库最大容量不超过1500件： 0≤300＋X11－X12≤1500

0≤300＋X11－X12＋X21－X22≤1500

0≤300＋X11－X12＋X21－X22＋X31－X32≤15000≤300＋X11－X12＋X21－X22＋－X32＋X41－

0≤300＋X11－X12＋X21－X22－X32＋－＋X51－X52≤1500

0≤300＋X11－X12＋X21＋X31－X32X42＋X51－X52＋X61－X62≤1500 b.300＋X11－＋X21＋X31－X32＋X41－X42＋X51－X52＋X61－X62≥300 c.，1,2,3,4,5,6; j＝1,2 (4)

Max Z＝＋－26X21＋26X32－25X31＋28X42－27X41＋25X52－

＋－0.5×｛(300＋X11－X12)＋(300＋X11－X12＋X21－－X12＋X21－X22＋X31－X32) ＋(300＋X11－X12＋X21－X22＋＋X41－X42) ＋(300＋X11－X12＋X21－X22＋X31－X32＋X41－X51－X52) ＋(300＋X11－X12＋X21－X22＋X31－X32＋X41－X42＋X51－X52＋X61－X62)｝

s.t 0≤300＋X11－X12≤1500

0≤300＋X11－X12＋X21－X22≤1500

0≤300＋X11－X12＋X21－X22＋X31－X32≤1500

0≤300＋X11－X12＋X21－X22＋X31－X32＋X41－X42≤1500

0≤300＋X11－X12＋X21－X22＋X31－X32＋X41－X42＋X51－X52≤1500

300＋X11－X12＋X21－X22＋X31－X32＋X41－X42＋X51－X52＋X61－X62≤1500

300＋X11－X12＋X21－X22＋X31－X32＋X41－X42＋X51－X52＋X61－X62≥300

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Xij≥0，i＝1,2,3,4,5,6; j＝1,2

6 模型求解

运用Matlab求线性规划解——

(1)将目标函数进行整理，可得：Max Z＝32X12－31X11＋29.5X22－28.5X21＋28X32－27X31＋29.5X42－28.5X41＋26X52－25X51＋25.5X62－24X61－900

(2)为应用Matlab求解上述线性规划问题，将上述模型改写成Matlab适用的模型，其形式为：

Min Z′＝31X11－32X12＋28.5X21－29.5X22＋27X31－28X32＋28.5X41－29.5X42＋

25X51－26X52＋24X61－25.5X62

s.t. X11－X12≤1200

X12－X11≤300

X11－X12＋X21－X22≤1200 X12－X11＋X22－X21≤300

X11－X12＋X21－X22＋X31－X32≤1200 X12－X11＋X22－X21＋X32－X31≤300

X11－X12＋X21－X22＋X31－X32＋X41－X42≤1200 X12－X11＋X22－X21＋X32－X31＋X42－X41≤300

X11－X12＋X21－X22＋X31－X32＋X41－X42＋X51－ X12－X11＋X22－X21＋X32－X31－X41＋－

X11－X12＋X21－X22＋X31－＋X42＋X52＋X61－X62≤1200X12－X11＋X22－X21＋X32－X31＋X42＋X52－X51＋X62－X61≤0 Xij≥0，i＝1,2,3,4,5,6; j＝(3)建立M文件，编写Matlab

c ＝ A ＝ 1,-1,1,-1, 1,-1,1,-1,1,-1,1,-1; -1,1,-1,1, -1,1,-1,1,-1,1,-1,1];

b ＝ [1200;300;1200;300;1200;300;1200;300;1200;300;1200;0]; lb＝zeros[12,1];

x ＝ linprog(c,A,b,[],[],lb); Z′ ＝ c*x

(4)运行上述Matlab程序，计算得： x ＝ 0

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300 0 0

1500 0 0 1500 0 0

Z′

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