全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全

圆锥曲线训练

高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集

1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上

(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|.

(Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程．

(Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足：

①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ?=

求点G 的横坐标的取值范围．

2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率

23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆

上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程.

3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是,425=x 其左、右顶点分别

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是A 、B ；双曲线1:22

222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0.

（Ⅰ）求椭圆C 1的方程及双曲线C 2的离心率；

（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C 2上一点P ，连结AP 交椭圆C 1于点M ，连结PB 并延长交椭圆C 1于点N ，若=. 求证：.0=?

4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F （c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A ，B 两点.设AB 中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为αa.

（1）用半焦距c 表示椭圆的方程及tan α;

（2）若2<tan α<3，求椭圆率心率e 的取值范围.

5. 已知椭圆2222b y a

x +（a ＞b ＞0）的离心率36=e ，过点A （0，-b ）和B （a ，0）的直线与原点的距离为23

（1）求椭圆的方程

（2）已知定点E （-1，0），若直线y ＝kx ＋2（k≠0）与椭圆交于C D 两点 问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点?请说明理由

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6. 在直角坐标平面中，ABC ?的两个顶点B A ,的坐标分别为)0,1(-A ，)0,1(B ，平面内两点M G ,同时满足下列条件：

①0=++GC GB GA ==GM ∥AB

（1）求ABC ?的顶点C 的轨迹方程；

（2）过点)0,3(P 的直线l 与（1）中轨迹交于F E ,两点，求PF PE ?的取值范围

7. 设R y x ∈,，j i ,为直角坐标平面内x 轴．y 轴正方向上的单位向量，若

j y i x b j y i x a )2(,)2(-+=++=，且8||||=+b a

（Ⅰ）求动点M(x,y)的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）设曲线C 上两点A ．B ，满足(1)直线AB 过点（0，3），(2)若+=，则OAPB 为矩形，试求AB 方程．

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8. 已知抛物线C ：)0,0(),(2

>≠+=n m n x m y 的焦点为原点，C 的准线与直线 )0(02:≠=+-k k y kx l 的交点M 在x 轴上，l 与C 交于不同的两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N （p ，0）．

（Ⅰ）求抛物线C 的方程；

（Ⅱ）求实数p 的取值范围；

（Ⅲ）若C 的焦点和准线为椭圆Q 的一个焦点和一条准线，试求Q 的短轴的端点的轨迹方程．

9. 如图，椭圆的中心在原点，长轴AA 1在x 轴上.以A 、A 1为焦点的双曲线交椭圆于C 、D 、D 1、C 1四点，且|CD|＝21|AA 1|.椭圆的一条弦AC 交双曲线于E ，设λ=EC AE ，当433

2≤≤λ时，求双曲线的离心率e 的取值范围.

x

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10. 已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆

805422=+y x 上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴上）.

若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程;

若角A 为0

90，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程.

11. 如图，过抛物线24x y =的对称轴上任一点(0,)(0)P m m >作直线与抛物线交于,A B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点.

(1) 设点P 分有向线段AB 所成的比为λ，证明:()QP QA QB λ⊥-;

(2) 设直线AB 的方程是2120x y -+=，过,A B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程.

12. 已知动点P （p ，-1），Q （p ，212p +），过Q 作斜率为2p 的直线l ，P Q 中点M 的轨迹

为曲线C.

（1）证明：l 经过一个定点而且与曲线C 一定有两个公共点；

（2）若（1）中的其中一个公共点为A ，证明：AP 是曲线C 的切线；

（3）设直线AP 的倾斜角为α，AP 与l 的夹角为β，证明：βα+或βα-是定值.

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13. 在平面直角坐标系内有两个定点12F F 、和动点P ，12F F 、坐标分别为)0,1(1-F 、

)0,1(F 2，动点P 满足22|

PF ||PF |21=，动点P 的轨迹为曲线C ，曲线C 关于直线y x =的对称曲线为曲线'C ，直线3-+=m x y 与曲线'C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，△ABO 的面积为7，

（1）求曲线C 的方程；（2）求m 的值。

14. 已知双曲线)0,0(122

22>>=-b a b y a x 的左右两个焦点分别为21F F 、,点P 在双曲线右支

上.

（Ⅰ）若当点P 的坐标为)516,5413(

时,21PF PF ⊥,求双曲线的方程； （Ⅱ）若||3||21PF PF =,求双曲线离心率e 的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.

15. 若F 1、F 2为双曲线12

2=-b y a x 的左右焦点，O 为坐标原点，P 在双曲线的左支上，点

M

在右准线上，且满足；

)0,1 λλF +==.

（1）求该双曲线的离心率； （2）若该双曲线过N （2，3），求双曲线的方程；

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（3）若过N （2，3）的双曲线的虚轴端点分别为B 1、B 2（B 1在y 轴正半轴上），点A 、B 在双曲线上，且B B A B B B A B 1122,⊥=求λ时，直线AB 的方程.

16. 以O 为原点，OF 所在直线为x 轴，建立如 所示的坐标系。设1OF FG ?=，点F 的坐标为(,0)t ，[3,)t ∈+∞，点G 的坐标为

00(,)x y 。 （1）求0x 关于t 的函数0()x f t =的表达式，判断函数()f t 的单调性，并证明你的判断；

（2）设ΔOFG

的面积

S =

，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆经过点G ，求当||OG 取

最小值时椭圆的方程； （3）在（2）的条件下，若点P 的坐标为9(0,)2，C 、D 是椭圆上的两点，且(1)PC PD λλ=≠，

求实数λ的取值范围。

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17. 已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心，点A （1，0），P 是圆上的动点，点Q 在圆的

半径CP 上，且.2,0AM AP AP MQ ==?

（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；

（Ⅱ）若直线

12++=k kx y 与（Ⅰ）中所求点Q 的轨迹交于不同两点F ，H ，O 是坐标原点， 且433

2≤?≤，求△FOH 的面积的取值范围。

18. 如图所示，O 是线段AB

其中c a <。

（1）若圆A 外的动点P 到B 的距离等于它到圆周的最短距离，建立适当坐标系，求动点P 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线；

（2）经过点O 的直线l 与直线AB 成60°角，当c ＝2，a ＝1时，动点P 的轨迹记为E ，设过点B 的直线m 交曲线E 于M 、N 两点，且点M 在直线AB 的上方，求点M 到直线l 的距离d 的取值范围。

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