1不定积分概念与基本积分公式

第八章 不定积分

§1不定积分的概念与基本积分公式

教学目标：

通过本节内容的学习，达到以下教学目标与要求： 一级目标：熟练掌握不定积分及原函数的概念 二级目标：掌握一些简单的不定积分的计算方法

教学内容和重、难点：

1. 不定积分 2. 原函数

3. 不定积分的简单计算 重点：不定积分

难点：不定积分的计算

教学方法和教具使用：

讲授法。

教学过程：

一、原函数与不定积分

定义1 设在区间I上有F x f x ，则称F x 为f x 在区间I上的一个原函数. 如：

sinx cosx,x , ， sinx是cosx在区间 , 上的一个原函数.

定理8.1 若f x 在区间I上连选，则函数f x 在区间I上存在原函数.

定理8.2 设函数f x 在区间I上存在原函数，F x 是f x 在区间I上的一个原函数，则f x 的原函数的一般表达式为F x C，其中C为任意常数. 证 因为F x 是f x 在区间I上的一个原函数，所以，

F x f x ,x I.

于是，对任意常数C，有

F x fx， Fx C

故对任意常数C，F x C为函数f x 在区间I上的一个原函数. 反之，设G x 为f x 在区间I上的任意一个原函数，则

G x f x ，x I.

故F x G x ,x I.

从而存在常数C，使得G x F x C.

定义2 函数f x 在区间I上原函数的一般表达式，称为f x 在区间I上的不定积分，记作

f x dx,

其中

程为积分符合，f x 称为被积函数，f x dx称为被积表达式，x称为积分变量.

根据不定积分的定义，若F x 是f x 在区间I上的一个原函数，则

f x dx F x C.

求出C称为积分常数.

如cosxdx sinx C,xdx 易知，

2

13

x C. 3

f x dx f x , d f x dx f x dx.

二、基本积分表 1.0dx C. 2.dx x C.

x 1

C 1 . 3. xdx

1

4.

1

xdx lnx C.

5.

exdx ex

C.

6. ax

dx ax

lna

C a 0,a 1 . 7.

cosxdx sinx C. 8.

sinxdx cosx C.

9.

sec2

xdx tanx C.

10.

csc2

xdx cotx C.

11. secx tanxdx cscx C. 12.

cscx cotxdx cscx C.

13.

arcsinx C.

14.

dx

1 x2 arctanx C.

定理8.3 设f x 和g x 在区间I上都存在原函数，则 1） f x g x dx

f x dx g x dx；

2）

kf x dx k

f x dx k 0 .

例1 求函数p x an

n 1

0x a1x

an 1x an的不定积分.（自学）

x4 1dx x4 1 2

x2 1 x2 1 2x2 1x2 1dx x2 1

例2 x2 1 2 2

dxx2 1

dx xdx dx 2 1 x2 1

3

x3 x 2arctanx C.例3

dxsin2x cos2xsin2x cos2xcos2xsin2xdx

1

cos2x 1 sin2x

dx sec

2

x csc2x dx sec2xdx csc2xdx

tanx cotx C.

例4 求不定积分

cos3x sinxdx.（注：这个题应该放在换元积分法后面讲）

例5

10 10 dx 10 10 2 dx

dx 10 dx 10 10 10 2

x

x2

2x

2x

2x

2x

2x

2x

dx 2 dx

1

102x 10 2x 2x C. 2ln10

作业及习题选解p181

7.设f arctanx x2，求f x .

解 由f arctanx x2知f x tan2x，因此

f x tan2xdx sec2x 1 dx tanx x C.

另解：因为 f arctanx f arctanx

1

1 x2

，所以 f arctanx 1 x2 f arctanx

. 因f arctanx x2，故

1 x2

f arctanx x, f arctanx

x221 x2.

于是

f arctanx x2 1 1 x2dx 1 1 x2 dx x arctanx C tanarctanx arctanx C,f u tanu u C,f x tanx x C.