第3章参数估计习题解答(2)

求未知参数θ的最大似然估计值.

1

,θ≤x≤2θ

解： X的概率密度为：p(x;θ)= θ

0,其他

所以样本似然函数

n1 1n

∏(θ<xi<2θ, i (),θ<xi<2θ, i

L(θ)= i=1θ= θ

0,其他0,其他

最大似然估计的原理是找到一个θ，使得似然函数达到最大.

在本题中，就需要在满足条件的范围内（θ<xi<2θ, i0<xi<1, i）找到一个最小的θ，从而使似然函数达到最大.

=因此θ最大似然估计为 θ

1

max{xi}. 21≤i≤n

2

29.设X1,X2,X3是来自总体X的样本，µ和σ分别是总体均值和总体方差,证明下列三个统计量

221111111

2=X1+X2+X3,µ 3=X1+X2+X3,X1+X2+X3,µ

555623333

都是总体均值µ的无偏估计量；并指出它们中哪个估计量最有效.

1=µ

解：因为E(X1)=E(X2)=E(X3)=µ,D(X1)=D(X2)=D(X3)=σ2,

221

E(X1)+E(X2)+E(X3)=µ, 555111

2)=E(X1)+E(X2)+E(X3)=µ，E(µ

623111

1,µ 2,µ 3都为µ的无偏估计量； 3)=E(X1)+E(X2)+E(X3)=µ，所以µE(µ

333 1)=E(µ

4419σ2

1)=D(X1)+D(X2)+d(X3)=, 又因为 D(µ

25252525

黄龙生版 概率论

1117D(X1)+D(X2)+D(X3)=σ23649181111

2)>D(µ 1)>D(µ 3)， 3)=D(X1)+D(X2)+D(X3)=σ2，可得D(µD(µ

9993 2)=D(µ

，

3最有效. 所以µ

30. 假设你为某种子公司开发一种快速生长的洋葱新品种.现拟确定该品种洋葱从播种到成熟（可从外观上判断球茎发育，顶端弯曲等）所需的平均时间µ（天数）.假定从初步的研究知道，平均时间服从σ=8.3天的正态分布，抽取了67个成熟期的洋葱作为样本，且样本均值=71.2天，试求µ置信度为95%的置信区间.

解： P zα/2<

<zα/2 =1 α

P zα/2+zα/2=1 α

又已知=71.2，σ=8.3，查标准正态分布表可得zα/2=z0.025=1.96．

置信下限：zα/2=71.2

1.96=69.21255

1.96=73.18745 置信上限：zα/2=71.2故所求置信区间为(69.21255,73.18745)．

31.一个容量为n=16的随机样本取自总体X N(µ,σ)，其中µ,σ均未知，如果样本有均值=27.9，标准差s=3.23，试求µ的置信度为99%的置信区间.

解

：P tα(n 1)<

2

2

<tα2(n 1) =1 α

P tα2(n +tα(n =1 α

查表得t0.005(16 1)=t0.005(15)=2.9467，故得µ的由样本数据计算得=27.9，s=3.23，置信区间为

黄龙生版 概率论

t+t0.0050.005

= 27.9 2.946727.9+2.9467=(25.52054,30.27946)

32.如果你在食品公司就职，要求估计一标准袋薯片的平均总脂肪量（单位：克）.现分析了11袋，并得下列结果：=18.2g,s=0.56g.如果假定总脂肪量服从正态分布，试给出总体µ和σ2和σ的90%置信区间.

解

：P tα(n 1)<

2

2

<tα2(n 1) =1 α

P tα2(n +tα(n =1 α

查表得t0.05(11 1)=t0.05(10)=1.8125，故得µ的

由样本数据计算得=18.2，s2=0.56，置信区间为

t+t0.050.05

= 18.2 1.8125+1.8125=(17.791045,18.608955)； 2 (n 1)S22

χ< P χ1 α2(n-1)<(n1) =1 α α22

σ (n 1)S2 (n 1)S2 2

<σ<2P 2 =1-α χχ(n1)(n1) α 1 α

22

查表得χ0.95(10)=3.94，χ0.05(10)=18.307．因此可得σ2的置信区间为

10×0.5610×0.56

, =（0.30589，1.42132） 3.94 18.307

σ

的置信区间为

=（0.55307，1.19219）.

黄龙生版 概率论

33.测得16头某品种牛的体高，得到1=133cm,s1=4.07cm；而另外一品种20头牛的体高样本平均值2=131cm,样本标准差s2=2.92cm，假设两个品种牛的体高都服从正态分布，试求该两品种牛体高差的95%的置信区间.

解

：P <tα/2(n1+n2 2) =1 α

< µµ 12

P =1 α

<

查表得t0.025(34)=2.0322，计算得1=133cm,s1=4.07cm，2=131cm,

s2=2.92cm

，sw=因此计算得µ1 µ2的置信水平为0.

95的=2.291715，

置信区间为= (0.43792,3.56208).

34.为检测某种激素对失眠的影响，诊所的医生给两组睡眠不规律的病人在临睡前服用不同剂量的激素，然后测量他们从服药到入睡（电脑电波确定）的时间.第一组服用的是5mg的剂量，第二组服用的是15mg的剂量,样本是独立的.结果为

n1=10,=14.8min,s12=4.36min2；第二组n2=13,=10.2min，,s22=4.66min2.

2

假定两个条件下的总体是正态分布，试求两总体方差比σ122的90%置信区间.

2

S12σ2

解：P F1 α/2(n1 1,n2 1)<2 2<Fα/2(n1 1,n2 1) =1 α

S2σ1

σ12s12/s22s12/s22

<2<P =1 α

σ(1,1)(1,1)FnnFnn221 α/212 α/21

计算得知s12=4.36,s22=4.66，又查表得

黄龙生版 概率论

F0.05(9,12)=2.8，F0.95(9,12)=

11

==0.33

F0.05(12,9)3.07

σ12

由此计算得2的置信水平为0.90的置信区间为(0.3342,2.8724).

σ2