定积分在几何中的应用(二)

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1.7.1定积 定积 分在几何中 的应用(二)高二数学 选修2-2第一章 导数及其应用1 2011-3-16 孝高 蒋志方

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1.微积分基本定理---------牛顿-莱布尼茨公式 1.微积分基本定理---------牛顿- 微积分基本定理

∫

b

a

f (x)dx = ∫ F (x)dx = F(x)| = F(b) F(a)' a b aa

b

2.定积分的几何意义： 2.定积分的几何意义： 定积分的几何意义 b 的几何意义： 定积分 ∫ f ( x )dx 的几何意义：

它是介于 x 轴 、 函数 f ( x ) 的图象及两条直线 之间的各部分面积的代数和 .(在 代数和.( x = a , x = b 之间的各部分面积的 代数和 .( 在 x 轴 轴下方的面积取负号) 上方的面积取正号， 上方的面积取正号，在 x 轴下方的面积取负号)

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3.求由曲线围成的平面图形面积的一般步骤 求由曲线围成的平面图形面积的一般步骤: 求由曲线围成的平面图形面积的一般步骤 (1)画草图 画草图; 画草图 (2)求曲线的交点定出积分上、下限; 求曲线的交点定出积分上、下限 求曲线的交点定出积分上 (3)确定被积函数 要注意面积是非负的 确定被积函数,要注意面积是非负的 确定被积函数 要注意面积是非负的; (4)写出定积分并计算 写出定积分并计算. 写出定积分并计算

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所围成的图形的面积. 1.计算由曲线 1.计算由曲线 y = 2x和直线 y = x 4 所围成的图形的面积.2

=∫ ∫

8

0

2 xdx ∫ ( x 4 )dx8

2

0

(0

64 8 2 x dx ∫ ( x 4 )dx = 8 + + 2 = 18 2 3 34

)

4

2.计算由曲线 2.计算由曲线 y = x 6x 和 y= x 所围成的图形的面积. = 所围成的图形的面积.3 2

=∫

2

(x

3

6 x x )dx + ∫ ( x x + 6 x )dx2 3 2 3 0

16 63 253 + = 3 4 12

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已知抛物线y=x2-2x及直线 及直线x=0,x=a,y=0 例3 已知抛物线 及直线 围成的平面图形的面积为4/3,求 的值 的值. 围成的平面图形的面积为0 求a的值2

4 a < 0时 :S = ∫ ( x 2 x ) dx = a 3 3 2 a 3 a + 4 = 0 a = 1(2 舍 ) a 4 2 0 < a ≤ 2时:S = ∫ x 2 x dx = 0 3 3 2 a 3a + 4 = 0 a = 2( 1舍 ) a 2 4 2 2 a > 2:S = ∫ ( x 2x )dx ∫ ( x 2x )dx = 2 0 3 此时a无解 所以，综上a等于 等于-1或 所以，综上 等于 或2 面积为4/3”,改为”面积不超过 改为” 若”面积为 改为 面积不超过4/3”呢? 呢

(

)

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例题4 例题

2 ′ x = x = 2 x0 , y = 2 x0 x x0 设 点 A ( x0 , y 0 ) , y0

∴ A (1,1) , y = 2 x 1

1 S = ∫ x dx ∫x0 ( 2x0 x x )dx = 0 12 2 x0 = 1x0 2 x0 2 0

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学习小结: 学习小结: 求在直角坐标系下平面图形的面积步骤: 求在直角坐标系下平面图形的面积步骤: 1.作图象 作图象; 作图象 2.求交点的横坐标 定出积分上、下限 求交点的横坐标,定出积分上 求交点的横坐标 定出积分上、下限; 3.确定被积函数，用定积分表示所求的

面积， 确定被积函数， 确定被积函数 用定积分表示所求的面积， 特别注意分清被积函数的上、下位置; 特别注意分清被积函数的上、下位置4.用牛顿-莱布尼茨公式求定积分. 用牛顿-莱布尼茨公式求定积分 用牛顿

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定积分的简单应用((二) 定积分的简单应用

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我们知道， 我们知道， 作变速直线运动的物体所经过 )(v( 的路程 s,等于其速度函数 v=v(t)( (t)≥0)在时 , = ( )( ) 0)在时 间区间[ , ]上的定积分, 间区间[a,b]上的定积分,即 s = ∫ v ( t )dta b

这节课， 我们运用定积分知识来解决物理 这节课， 我们运用定积分知识来 运用定积分知识 中的一些路程问题. 一些路程问题 学中的一些路程问题.

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一辆汽车的速度一时间曲线如图所示， 例 1:一辆汽车的速度一时间曲线如图所示，求汽 行驶的路程. 车在这 1 min 行驶的路程

由速度──时间曲线可知: ──时间曲线可知 解:由速度──时间曲线可知: (0≤t ≤10) 3t v( t) = 30 (10≤t ≤40) -1.5t +90(40≤t ≤60) ∴汽车在这 1 min 行 驶的路程是: 驶的路程是

s = ∫ 3tdt + ∫0

10

40 10

30dt + ∫ ( 1.5t + 90)dt =1350m40

60

汽车汽车在这 行驶的路程是 答:汽车汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m. 汽车

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练习: 练习: 2 1.物体以速度 / )作直线运动, 1.物体以速度 v ( t ) = 3t 2t + 3 (m/s)作直线运动,它 在时刻 t = 0 (s)到 t = 3 (s)这段时间内的位移是( )m ) )这段时间内的位移是( (A)9 (B)18 (C)27 (D)36 (A)9 (B)18 (C)27 (D)36

C

3 S = ∫ v ( t )dt = ∫ (3t 2 2t + 3)dt = ( t 3 t 2 + 3t ) |0 = 27 0 0

3

3

2.以初速度 垂直向上抛一物体, 2.以初速度 40 m 垂直向上抛一物体, t s 时刻的速度 s 单位: ),试将物体的高度表示为时 为 v = 40 10t (单位: m ),试将物体的高度表示为时 s 的函数式.( .(记起点的高度为 间 t 的函数式.(记起点的高度为 0m).解:记物体时刻 t 的高度为 h( t ) ,∵ h(0) = 0 记物体时刻 ∵t ∴ h( t ) h(0) = ∫ (40 10 x )dx = 40 x 5 x 2 |0 = 40t 5t 2

t

0

∴物体的高度表示为时间 t 的函数式为 h( t ) = 40t 5t 2

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练习: 练习: 1.物体以速度 1. 物体以速度 v ( t ) = 3t 2 2t + 3 (m/s) 作直线运动 , 它 / ) 作直线运动, 在时刻 t = 0 (s)到 t = 3 (s)这段时间内的位移是( )m ) )这段时间内的位移是( (A)9 (A)9 (B)18 (B)18 (C)27 (C)27 (D)36 (D)36

C

(m/s)作直线 变式题 1: 物体以速度 v ( t ) = 3t 2t + 3 (m/s)作直线 运动, 秒内的路程为( )m 运动,它在第 2 秒内的路程为( (A)1 (B)3 (C)5 (D)7 (A)1 (B)3 (C)5 (D)72

D

在第 2 秒内的路程为2 S = ∫ 3t 2t + 3 dt = ∫ (3t 2 2t + 3)dt = (t 3 t 2 + 3t ) |1 = 7 m 2 1 1 2 2

(m/s)作直线 变式题 2: 物体以速度 v ( t ) = 3t 2t + 3 (m/s)作直线 运动, 秒内的平均速率. 运动,求其

在前 10 秒内的平均速率.2

m 93

s

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2.以初速度 垂直向上抛一物体, 练习 2. 以初速度 40 m s 垂直向上抛一物体 , t s 时 单位: ),试将物体的高 刻的速度为 v = 40 10t ( 单位: m s ), 试将物体的高 的函数式.( .(记起点的高度为 度表示为时间 t 的函数式.(记起点的高度为 0m) )h( t ) = ∫ (40 10 x )dx = 40 t 5 t0 t 2

变式题 垂直向上抛一物体, 以初速度 40 m s 垂直向上抛一物体, t s 时刻的速度 单位: ),问多少秒后物体达到最 为 v = 40 10t (单位 : m s ),问多少秒后物体达到最 最大高 …… 此处隐藏：3952字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……