[推荐学习]高考数学总复习(讲+练+测)： 专题7.6 数学归纳法(讲)(2)

②假设 时结论成立，即： 成立 当 时，

即当 时结论也成立.由①②可知对任意 ，结论都成立.

【3-2】【2017届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等五校联考】已知数列{}n a

中，满足111,2n a a +==记n S 为n a 前n 项和． （I ）证明： 1n n a a +>；

[k12]

最新K12 （Ⅱ）证明： 1cos 32n n a π

-=?

（Ⅲ）证明： 2

2754

n S n π+>-. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．

22211111111sin 223?23?2n n n n n a a a ππ-----+??=-=-=< ???，化简可得211219?4n n a π-->-。再由数列的前n 项和及等比数列前n 项和公式可得结论。 试题解析：证明：（I ）因()()22212212112,n n n n n n a a a a a a +-=+-=-+ 故只需要证明1n a <即可 ……………………………………………………3分 下用数学归纳法证明：

当1n =时， 1112

a =<成立 假设n k =时， 1k a <成立，

那么当1n k =+时，

11k a +==， 所以综上所述，对任意n ， 1n a < …………………………………………6分 （Ⅱ）用数学归纳法证明1cos

3?2n n a π-= 当1n =时， 11cos 23

a π==成立 假设n k =时， 1cos 3?2k k a π

-=

那么当1n k =+时，

1cos 3?2k k a π

+==

[k12]

最新K12

所以综上所述，对任意n ， 1

cos 3?2n n a π

-= (10)

分

（Ⅲ）2

22

111

11111sin 223?23?

2n n n n n a a a ππ-----+??=-=-=< ???得211219?4n n a π-->- …12分 故2

22

12211241127119?42

29316454n n i n i S n n πππ-=??+??>-

+=--

??->- ? ????

?∑ ……15分

【领悟技法】

(1)“归纳——猜想——证明”的一般步骤 ①计算(根据条件，计算若干项)．

②归纳猜想(通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结论)． ③证明(用数学归纳法证明)．

(2)与“归纳——猜想——证明”相关的常用题型的处理策略

①与函数有关的证明：由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明．

②与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑应用数学归纳法． 【触类旁通】

【变式一】设等差数列 的公差 ，且 ，记

（1）用 分别表示 ，并猜想 ； （2）用数学归纳法证明你的猜想. 【答案】（1）

.；（2）见解析

.

试题解析：（1）T 1＝＝

；

T 2＝＋＝×＝

×＝； T 3＝

＋

＋

＝

×＝

×＝

[k12]

最新K12 由此可猜想T n ＝.

（2）证明：①当n ＝1时，T 1＝

，结论成立． ②假设当n ＝k 时(k∈N *)时结论成立，

即T k ＝.

则当n ＝k ＋1时，T k ＋1＝T k ＋＝＋

＝＝

. 即n ＝k ＋1时，结论成立．

由①②可知，T n ＝对于一切n∈N *

恒成立． 【变式二】【2017届浙江省“超级全能生”3月联考来】已知每一项都是正数的数列{}n a 满足11a =， ()

*1112n n n a a n N a ++=∈． （1）用数学归纳法证明： 2121n n a a +-<；

（2）证明： 116

n a ≤≤； （3）记n S 为数列{}1n n a a +-的前n 项和，证明： ()

*6n S n N <∈． 【答案】（1）见解析;（2）见解析;（3）见解析

.

()()

2121212111k k k k a a a a +-+--=++，（2）奇数项隔项递减，且最大值为11a =，所以研究偶数项单调性：隔项递增，且最小值为216a =

，（同（1）的方法给予证明），最后需证明221n n a a -<，根据归纳可借助第三量13

，作差给予证明；（3）先探求数列{}1n n a a +-递推关系： 1211617

n n

n n n n n a a a a a a a ++++--=≤-+，再利用等比数列求和公式得

[k12]

最新K12 615766617

n n S ??- ???≤?<-. 试题解析：（1）由题知， 110a =>， ()

*11012n n n a a n N a ++=>∈ ①当1n =时， 11a =， 12111126

a a a +==， 232171212

a a a +==， 31a a <成立； ②假设n k =时，结论成立，即2121k k a a +-<， 因为()

2122121212122121

1111213111212112?12n n n n n n n n n a a a a a a a a a ---+---++++===++ 所以()()212123212121131131121121n n k k n n a a a a a a +-+++-++-=-++ ()()21212121011k k k k a a a a +-+--=<++ 即1n k =+时也成立，

由①②可知对于PAC ，都有2121n n a a +-<成立.

（2）由（1）知， 2121n n a a +-<，

所以121211n n a a a -+=>>>，

同理由数学归纳法可证222n n a a +<，

222216n n a a a ->>

>=. 猜测： 22113n n a a -<<，下证这个结论. 因为111334n n n

a a a +??-- ???-=， 所以113n a +-与13n a -异号.注意到1103a ->，知21103n a -->， 2103n a -<，

[k12]

最新K12 即22113

n n a a -<<. 所以有12121222213n n n n a a a a a a -+->

>>>>>>>， 从而可知116

n a ≤≤. （3）112111

11121212n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++++-++-=-= 11211n n n n n a a a a a a ++--=≤++ 167n n a a +=- 所以211126677n n n n n n a a a a a a +---??-≤-≤- ??? 12167n a a -??≤≤- ??? 156·67n -??= ??? 所以2132431n n n S a a a a a a a a +=-+-+-++-

21566616777n -??????≤++++?? ? ???

?????? 615353676666617

n ??- ???=?<<=- 【易错试题常警惕】

易错典例：【2017届山西省孝义市5月模拟】数列{}n a 满足*153618,n n a a n n N ++=+

∈，且14a =.

（1）写出{}n a 的前3项，并猜想其通项公式；

（2）用数学归纳法证明你的猜想.

易错分析：对于归纳猜想证明类问题，有三个易错点.一是归纳结论不正确；二是应用数学归纳法，确认n 的初始值n 0不准确；三是在第二步证明中，忽视应用归纳假设. 题成立.

（2）①当1n =时， 14612a ==?-成立；

②假设,n k k N +=∈时，猜想成立，即有62k a k =-，

[k12]

最新K12 由153618k k a a k ++=+，，及62k a k =-，

得()164612k a k k +=+=+-，即当1n k =+时猜想成立，

由①②可知， 62n a n =-对一切正整数n 均成立.

温馨提示：1.数学归纳法证题时初始值n 0不一定是1.

2.推证n ＝k ＋1时一定要用上n ＝k 时的假设，否则不是数学归纳法.

3.解“归纳——猜想——证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础，否则将会做大量无用功.