[推荐学习]高考数学总复习(讲+练+测)： 专题7.6 数学归纳法(讲)

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最新K12 第06节 数学归纳法

【考纲解读】

【知识清单】 数学归纳法

1.证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)

时命题成立．

(2)(归纳递推)假设n ＝k(k≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．

2.数学归纳法的框图表示

对点练习

【2018届浙江省温州市高三9月一模】已知数列 中， ，

（ ）．

（1）求证：

； （2）求证： 是等差数列；

（3）设 ，记数列 的前 项和为 ，求证：

． 【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

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最新

K12

试题解析：（1）证明：当 时， ，满足 ， 假设当 （ ）时， ，则当 时， ， 即 时，满足 ； 所以，当 时，都有 ．

（2）由

，得 ， 所以

， 即

， 即 ，

所以，数列 是等差数列．

（3）由（2）知，

， ∴

， 因此

，

当 时， ， 即 时，

， 所以 时， ，

显然 ，只需证明 ， 即可． 当 时， ． 【考点深度剖析】

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最新K12 数学归纳法是一种重要的数学方法，其应用主要体现在证明等式、证明不等式、证明整除性问题、归纳猜想证明等．浙江对数学归纳法的考查主要是与数列相结合.

【重点难点突破】

考点1利用数学归纳法证明等式

【1-1】．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2

n ＋2＝2n ＋3－1”，验证n ＝1时，左边计算所得

的式子为( )

A. 1

B. 1＋2

C. 1＋2＋22

D. 1＋2＋22＋23

【答案】D

【解析】左边的指数从0开始，依次加1，直到n ＋2，所以当n ＝1时，应加到23，故选D.

【1-2】观察下列等式： 11-=-；

132-+=；

1353-+-=-；

13574-+-+=；

………

（1）照此规律，归纳猜想出第n 个等式；

（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.

【答案】（1）135+-++ ()()()1211n n

n n --=-（*N n ∈）；（2）见解析

.

试题解析：

（1）第n 个等式为135=+-++ ()()()1211n n n n --=-（*N n ∈）； （2）用数学归纳法证明：

①当1n =时，等式显然成立；

②假设当n k =（*N k ∈）时，等式成立，

即135-+-++ ()()()1211k k k k --=-

则当1n k =+时， 135-+-++ ()()()()1121121k k k k +--+-+

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最新K12 ()()()11121k k k k +=-+-+= ()()1

121k k k +--++ ()()111k k +=-+

所以当1n k =+时，等式成立. 由①②知， 135-+-++ ()()()1211n n n --=-（*N n ∈） 【领悟技法】

数学归纳法证明等式的思路和注意点

(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．

(2)注意点：由n ＝k 时等式成立，推出n ＝k ＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．

【触类旁通】

【变式一】观察下列等式：

1=；

3=；

6=；

10=；

15=，

…………

(1)猜想第()

*n n N ∈个等式； (2)用数学归纳法证明你的猜想.

【答案】

()

12n n +=.(2)答案见解析

.

试题解析：

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()

12n n +=.

(2)证明：(i)当1n =时，等式显然成立. (ii)假设n k =

()

12k k +=，

即()

22333311234

k k k ++++?+=. 那么当1n k =+时，左边

==

()()1112k k ??+++??

===，

右边()()1112k k ??+++??

=.

所以当1n k =+时，等式也成立.

综上所述，等式对任意*n N ∈都成立.

【变式二】已知数列{}n a 中， 111,21n n a a a +==+， （Ⅰ）求2345,,,a a a a ；

（Ⅱ）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明．

【答案】(I ）23453,7,15,31a a a a ====；（II ）见解析.

【解析】试题分析：（1）由已知直接求出2345,,,a a a a 的值；（2）猜想21n n a =-，注意数学归纳法的步骤。

试题解析：(1）23453,7,15,31a a a a ====；

（2）猜想： 21n n a =- 证明：①当n=1时， 11211a =-=，猜想成立. ②假设n=k 时成立，即21k k a =-， 则当n=k+1时，由121n n a a +=+得

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最新K12 ()1121221121k k k k a a ++=+=-+=-

所以n=k+1时，等式成立.

所以由①②知猜想21n n a =-成立.

考点2 利用数学归纳法证明不等式

【2-1】【．用数学归纳法证明22n n >（*n N ∈， 5n ≥）成立时，第二步归纳假设的正确写法为（ ）

A. 假设n k =时，命题成立

B. 假设n k =（*k N ∈）时，命题成立

C. 假设n k =（5n ≥）时，命题成立

D. 假设n k =（5n >）时，命题成立

【答案】C

【2-2】【2017浙江卷22】已知数列{}n x 满足： ()()

*1n n 1n 1x =1x x ln 1x n N ++=++∈， 证明：当*n N ∈时

（I ）n 1n 0x x +＜＜;

（II ）n n 1n 1n x x 2x -x 2

++≤

； (III) n n 1n-211x 22-≤≤ 【答案】（I ）见解析；（II ）见解析；（Ⅲ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）用数学归纳法可证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得

()()21111114222ln 1n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++， 构造函数

()()()()222ln 10f x x x x x x =-+++≥，利用函数的单调性可证； （Ⅲ）由()1111ln 1n n n n n x x x x x ++++=++≤+及

1122n n n n x x x x ++≥-，递推可得()

*121122n n n x n N --≤≤∈

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最新K12 那么n=k+1时，若10k x +≤，则()110ln 10k k k x x x ++<=++≤，矛盾，故10k x +>．

因此()

*0n x n N >∈． 所以()111ln 1n n n n x x x x +++=++>，

因此()

*10n n x x n N +<<∈． （Ⅱ）由()11ln 1n n n x x x ++=++得，

()()21111114222ln 1n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++．

记函数()()()()2

22ln 10f x x x x x x =-+++≥， ()()22'ln 10(0)1

x x f x x x x +=++>>+， 函数f(x)在[0， ∞）上单调递增，所以()()0f x f ≥=0，因此

()()()21111122ln 10n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥， 故()

*1122n n n n x x x x n N ++-≤∈． （Ⅲ）因为()11111ln 12n n n n n n x x x x x x +++++=++≤+=， 所以112n n x -≥

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