学习k12精品高考数学(理科)大二轮复习练习：专题二 函数与导数(2)

则f'(x )=-2x+1=(x>0).

令f'(x )<0,则2x 2-x-1>0.

又x>0,所以x>1.

所以f (x )的单调递减区间为(1,+∞).

(2)(方法一)令g (x )=f (x )-(ax-1)=ln x-ax 2+(1-a )x+1,则g'(x )=-ax+(1-a )=

当a ≤0时,因为x>0,所以g'(x )>0.

所以g (x )在区间(0,+∞)内是增函数, 又g (1)=ln 1-a×12+(1-a )+1=-a+2>0,所以关于x 的不等式f (x )≤ax-1不能恒成立. 当a>0时,g'(x )==-(x>0), 令g'(x )=0,得x=

所以当x 时,g'(x )>0;当x 时,g'(x )<0,

因此函数g (x )在x 内是增函数,在x 内是减函数.

故函数g (x )的最大值为g =ln a

+(1-a )+1=-ln a.

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令h(a)=-ln a,

因为h(1)=>0,h(2)=-ln 2<0,又h(a)在a∈(0,+∞)内是减函数,且a为整数,

所以当a≥2时,h(a)<0.

所以整数a的最小值为2.

(方法二)由f(x)≤ax-1恒成立,得ln x-ax2+x≤ax-1在区间(0,+∞)内恒成立,

问题等价于a在区间(0,+∞)内恒成立.

令g(x)=,

因为g'(x)=,

令g'(x)=0,得-x-ln x=0.

设h(x)=-x-ln x,

因为h'(x)=-<0,所以h(x)在区间(0,+∞)上单调递减,

不妨设-x-ln x=0的根为x0.

当x∈(0,x0)时,g'(x)>0;当x∈(x0,+∞)时,g'(x)<0,所以g(x)在x∈(0,x0)内是增函数;在x∈(x0,+∞)内

是减函数.所以g(x)max=g (x0)=

因为h=ln 2->0,h(1)=-<0,

所以<x0<1,此时1<<2,

即g(x)max∈(1,2).

所以a≥2,即整数a的最小值为2.

(3)证明:当a=-2时,f(x)=ln x+x2+x,x>0.

由f(x1)+f(x2)+x1x2=0,

得ln x1++x1+ln x2++x2+x1x2=0,

从而(x1+x2)2+x1+x2=x1·x2-ln(x1·x2).

令t=x1·x2(t>0),φ(t)=t-ln t,则φ'(t)=

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可知,φ(t)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.

所以φ(t)≥φ(1)=1,所以(x1+x2)2+x1+x2≥1,因此x1+x 2或x1+x 2(舍去).

15.解(1)由题意f(π)=π2-2,

又f'(x)=2x-2sin x,所以f'(π)=2π,

因此曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为y-(π2-2)=2π(x-π),即y=2πx-π2-2.

(2)由题意得h(x)=e x(cos x-sin x+2x-2)-a(x2+2cos x),

因为h'(x)=e x(cos x-sin x+2x-2)+e x(-sin x-cos x+2)-a(2x-2sin x)

=2e x(x-sin x)-2a(x-sin x)

=2(e x-a)(x-sin x),

令m(x)=x-sin x,则m'(x)=1-cos x≥0,

所以m(x)在R上单调递增.

因为m(0)=0,所以当x>0时,m(x)>0;

当x<0时,m(x)<0.

①当a≤0时,e x-a>0,当x<0时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x>0时,h'(x)>0,h(x)单调递增,

所以当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;

②当a>0时,h'(x)=2(e x-e ln a)(x-sin x),由h'(x)=0得x1=ln a,x2=0.

(ⅰ)当0<a<1时,ln a<0,当x∈(-∞,ln a)时,e x-e ln a<0,h'(x)>0,h(x)单调递增;

当x∈(ln a,0)时,e x-e ln a>0,h'(x)<0,h(x)单调递减;

当x∈(0,+∞)时,e x-e ln a>0,h'(x)>0,h(x)单调递增.

所以当x=ln a时h(x)取到极大值.

极大值为h(ln a)=-a[ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2],

当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;

(ⅱ)当a=1时,ln a=0,所以当x∈(-∞,+∞)时,h'(x)≥0,函数h(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增,无极值;

(ⅲ)当a>1时,ln a>0,所以当x∈(-∞,0)时,e x-e ln a<0,h'(x)>0,h(x)单调递增;

当x∈(0,ln a)时,e x-e ln a<0,h'(x)<0,h(x)单调递减;

当x∈(ln a,+∞)时,e x-e ln a>0,h'(x)>0,h(x)单调递增.

所以当x=0时h(x)取到极大值,极大值是h(0)=-2a-1;

当x=ln a时h(x)取到极小值,极小值是h(ln a)=-a[ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2].

综上所述:

当a≤0时,h(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,函数h(x)有极小值,极小值是h(0)=-2a-1;

当0<a<1时,函数h(x)在区间(-∞,ln a)和区间(0,+∞)上单调递增,在区间(ln a,0)上单调递减,函数h(x)有极大值,也有极小值,极大值是h(ln a)=-a[ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2],极小值是h(0)=-2a-1;

当a=1时,函数h(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增,无极值;

当a>1时,函数h(x)在区间(-∞,0)和(ln a,+∞)上单调递增,在区间(0,ln a)上单调递减,函数h(x)有极大值,也有极小值,极大值是h(0)=-2a-1,极小值是h(ln a)=-a[ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2].

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