学习k12精品高考数学(理科)大二轮复习练习：专题二 函数与导数

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学习资料精品资料 专题能力训练7 导数与函数的单调性、极值、最

值

一、能力突破训练

1.已知函数f (x )的导函数为f'(x ),且满足f (x )=af'(1)x+ln x ,若f'=0,则a=( )

A.-1

B.-2

C.1

D.2

2.函数y=f (x )的导函数y=f'(x )的图象如图所示,则函数y=f (x )的图象可能是(

)

3.若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)=-1,其导函数f'(x )满足f'(x )>k>1,则下列结论中一定错误的是

( )

A.f

B.f

C.f

D.f 4.已知常数a ,b ,c 都是实数,f (x )=ax 3+bx 2+cx-34的导函数为f'(x ),f'(x )≤0的解集为{x|-2≤x ≤3}.若f (x )的极小值等于-115,则a 的值是( )

A.-

B.

C.2

D.5

5.(2018全国Ⅲ,理14)曲线y=(ax+1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= .

6.在曲线y=x 3+3x 2+6x-1的切线中,斜率最小的切线方程为 .

7.设函数f (x )=a e x ++b (a>0).

(1)求f (x )在[0,+∞)上的最小值;

(2)设曲线y=f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为y=x ,求a ,b 的值.

8.设函数f (x )=x e a-x +bx ,曲线y=f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为y=(e -1)x+4.

(1)求a ,b 的值;

(2)求f (x )的单调区间.

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9.(2018全国Ⅰ,理21)已知函数f (x )= -x+a ln x.

(1)讨论f (x )的单调性;

(2)若f (x )存在两个极值点x 1,x 2,证明:

<a-2.

10.已知函数f (x )= x 3+x 2-ax-a ,x ∈R ,其中a>0.

(1)求函数f (x )的单调区间;

(2)若函数f (x )在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a 的取值范围;

(3)当a=1时,设函数f (x )在区间[t ,t+3]上的最大值为M (t ),最小值为m (t ),记g (t )=M (t )-m (t ),求函数g (t )在区间[-3,-1]上的最小值.

二、思维提升训练

11.已知定义在R 上的函数f (x )的导函数为f'(x ),对任意x ∈R 满足f (x )+f'(x )<0,则下列结论正确的是

( ) A.e 2f (2)>e 3f (3) B.e 2f (2)<e 3f (3)

C.e 2f (2)≥e 3f (3)

D.e 2f (2)≤e 3f (3)

12.已知f'(x )为定义在R 上的函数f (x )的导函数,对任意实数x ,都有f (x )<f'(x ),

则不等式

f (m+1)<e m+1f 的解集为

. 13.已知函数f (x )=

. (1)求函数f (x )的单调区间;

(2)当x>0时,若f (x )>恒成立,求整数k 的最大值.

14.已知函数f (x )=ln x-ax 2+x ,a ∈R .

(1)若f (1)=0,求函数f (x )的单调递减区间;

(2)若关于x 的不等式f (x )≤ax-1恒成立,求整数a 的最小值;

(3)若a=-2,正实数x 1,x 2满足f (x 1)+f (x 2)+x 1x 2=0,求证:x 1+x 2≥

.

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15.已知函数f(x)=x2+2cos x,g(x)=e x(cos x-sin x+2x-2),其中e≈2.718 28…是自然对数的底数.

(1)求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程.

(2)令h(x)=g(x)-af(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.

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专题能力训练7 导数与函数的单调性、极值、最值

一、能力突破训练

1.D 解析 因为f'(x )=af'(1)+,所以f'(1)=af'(1)+1,易知a ≠1,则f'(1)=

,所以f'(x )=又因为f'=0,所以+2=0,解得a=2.故选D.

2.D 解析 设导函数y=f'(x )的三个零点分别为x 1, x 2,x 3,且x 1<0<x 2<x

3.

所以在区间(-∞,x 1)和(x 2,x 3)上,f'(x )<0,f (x )是减函数,

在区间(x 1,x 2)和(x 3,+∞)上,f'(x )>0,f (x )是增函数,

所以函数y=f (x )的图象可能为D,故选D .

3.C 解析 构造函数F (x )=f (x )-kx ,

则F'(x )=f'(x )-k>0,

∴函数F (x )在R 上为单调递增函数.

>0,∴F >F (0).

∵F (0)=f (0)=-1,∴f >-1,

即f -1=,∴f ,故C 错误.

4.C 解析 依题意得f'(x )=3ax 2+2bx+c ≤0的解集是[-2,3],于是有3a>0,-2+3=-

,-2×3=,则

b=-,c=-18a.

函数f (x )在x=3处取得极小值,于是有f (3)=27a+9b+3c-34=-115,

则-a=-81,解得a=2.故选C.

5.-3 解析 设f (x )=(ax+1)e x ,

可得f'(x )=a·e x +(ax+1)e x =(ax+a+1)e x ,

∴f (x )=(ax+1)e x 在(0,1)处的切线斜率k=f'(0)=a+1=-2,∴a=-3.

6.3x-y-2=0 解析 y'=3x 2+6x+6=3(x+1)2+3≥3.当x=-1时,y'min =3;当x=-1时,y=-5.

故切线方程为y+5=3(x+1),即3x-y-2=0.

7.解 (1)f'(x )=a e x -

当f'(x )>0,即x>-ln a 时,f (x )在区间(-ln a ,+∞)内单调递增;

当f'(x )<0,即x<-ln a 时,f (x )在区间(-∞,-ln a )内单调递减.

①当0<a<1时,-ln a>0,f (x )在区间(0,-ln a )内单调递减,在区间(-ln a ,+∞)内单调递增,从而f (x )在区间[0,+∞)内的最小值为f (-ln a )=2+b ;

②当a ≥1时,-ln a ≤0,f (x )在区间[0,+∞)内单调递增,

从而f (x )在区间[0,+∞)内的最小值为f (0)=a++b.

(2)依题意f'(2)=a e 2-

,解得a e 2=2或a e 2=-(舍去). 所以a=,代入原函数可得2++b=3,即b=故a=

,b=

学习资料精品资料

学习资料精品资料 8.解 (1)因为f (x )=x e a-x +bx ,

所以f'(x )=(1-x )e a-x +b.

依题设,解得a=2,b=e .

(2)由(1)知f (x )=x e 2-x +e x.

由f'(x )=e 2-x (1-x+e x-1)及e 2-x >0知,f'(x )与1-x+e x-1同号.

令g (x )=1-x+e x-1,则g'(x )=-1+e x-1.

所以,当x ∈(-∞,1)时,g'(x )<0,g (x )在区间(-∞,1)上单调递减;

当x ∈(1,+∞)时,g'(x )>0,g (x )在区间(1,+∞)上单调递增.

故g (1)=1是g (x )在区间(-∞,+∞)上的最小值,

从而g (x )>0,x ∈(-∞,+∞).

综上可知,f'(x )>0,x ∈(-∞,+∞).

故f (x )的单调递增区间为(-∞,+∞).

9.(1)解 f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=--1+=-

①若a ≤2,则f'(x )≤0,当且仅当a=2,x=1时,f'(x )=0,所以f (x )在(0,+∞)内单调递减.

②若a>2,令f'(x )=0,得x=或x=

当x 时,f'(x )<0;

当x 时,f'(x )>0.

所以f (x )在内单调递减,在内单调递增.

(2)证明 由(1)知,f (x )存在两个极值点时,当且仅当a>2.

因为f (x )的两个极值点x 1,x 2满足x 2-ax+1=0,

所以x 1x 2=1,不妨设x 1<x 2,则x 2>1. 由于=--1+a =-2+a =-2+a ,

所以

<a-2等价于-x 2+2ln x 2<0.

设函数g (x )=-x+2ln x ,由(1)知,g (x )在(0,+∞)内单调递减,又g (1)=0,从而当x ∈(1,+∞)时,g (x )<0. 所以-x 2+2ln x 2<0,即<a-2.

10.解 (1)f'(x )=x 2+(1-a )x-a=(x+1)(x-a ).

由f'(x )=0,得x 1=-1,x 2=a>0.

当x 变化时,f'

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