怎么利用构造法求数列的通项公式

求数列的通项公式是高考重点考查的内容,作为两类特殊数列----等差数列•等比数列可直接根据它们的通项公式求解,但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列,之后再应用各自的通项公式求解,体现化归思想在数列中的具体应用。

用构造法求数列的通项公式

求数列的通项公式是高考重点考查的内容，作为两类特殊数列----等差数列·等比数列可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，之后再应用各自的通项公式求解，体现化归思想在数列中的具体应用。 例1:数列 an 中,a1 1,an 1 2an 1则an ( ) A．2n B．2n 1 C．2n 1 D．2n 1 解法1：an 1 2an 1

an 1 1 2an 2 2(an 1)

又a1 1 2 an 1 1an 1

2

an

1 是首项为2公比为2的等比数列

n 1

an 1 2 2 2, an 2 1,所以选C

nn

解法2

归纳总结：若数列 an 满足an 1 pan q(p 1,q为常数），则令an 1 p(an )来构造等比数列，并利用对应项相等求 的值，求通项公式。

例2：数列 an 中，a1 1,a2 3,an 2 3an 1 2an，则an 解：an 2 an 1 2(an 1 an)

a2 a1 2 an an 1 为首项为2公比也为2的等比数列。

an an 1 2

n 1

，（n>1）

n>1时

求数列的通项公式是高考重点考查的内容,作为两类特殊数列----等差数列•等比数列可直接根据它们的通项公式求解,但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列,之后再应用各自的通项公式求解,体现化归思想在数列中的具体应用。

an (an an 1) (an 1 an 2) (a2 a1) a1

2

n 1

2

n

n 2

2 1

1 2

1 2

显然n=1时满足上式

n

an 2 1

2 1

n

小结：先构造 an 1 an 等比数列，再用叠加法,等比数列求和求出通项公式，

例3：已知数列 an 中a1 5,a2 2,an 2an 1 3an 2,(n 3)求这个数列的通项公式。 解： an 2an 1 3an 2

an an 1 3(an 1 an 2)

又a1 a2 7, an an 1 形成首项为7，公比为3的等比数列，

n 2

则an an 1 7 3………………………①

又an 3an 1 (an 1 3an 2)，

a2 3a1 13， an 3an 1 形成了一个首项为—13，公比为—1的等比数列

n 2

则an 3an 1 ( 13) ( 1)………………………②

n 1n 1

13 ( 1) ① 3 ② 4an 7 3

an

74

3

n 1

134

( 1)

n 1

小结：本题是两次构造等比数列，属于构造方面比较级，最终用加减消元的方法确定出数列的通项公式。

nn 1

例4：设数列 an 的前项和为Sn,若2an 2 Sn成立，(1)求证： an n 2 是等比数列。

(2) 求这个数列的通项公式

证明：(1)当 n 1,b a1 2 (b 1)a1, a1 2

求数列的通项公式是高考重点考查的内容,作为两类特殊数列----等差数列•等比数列可直接根据它们的通项公式求解,但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列,之后再应用各自的通项公式求解,体现化归思想在数列中的具体应用。

又 b an 2n (b 1) Sn………………………① b an 1 2n 1 (b 1) Sn 1………………………② ②—① b an 1 b an 2n (b 1) an 1

an 1 b an 2

n

当b 2时，有an 1 2an 2n

an 1 (n 1) 2

n

2an 2 (n 1) 2

nn

2 (an n 2

n 1

)

又a1 21 1 1

an n 2

n 1

为首项为1，公比为2的等比数列，

(2)

an n 2

n 1

2

n 1

, an (n 1) 2

n 1

小结：本题构造非常特殊，

要注意恰当的化简和提取公因式，本题集中体现了构造等比数列的价值与魅力，同时也彰显构造思想在高考中的地位和作用。

n 1

例5：数列 an 满足a1 3,an 1 2an 3 2，则an

A．(3n 1) 2 B．(6n 3) 2解： an 1 2an 3 2

an 12

n 1

n 1

nn 1

C．3(2n 1) 2 an2

n

n 1

D．(3n 2) 2

n 1

, 32

an 12

n 1

3

an2

n

3,又

a12

3 an

构成了一个首项这，公差为3的等差数列， n

2 2

求数列的通项公式是高考重点考查的内容,作为两类特殊数列----等差数列•等比数列可直接根据它们的通项公式求解,但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列,之后再应用各自的通项公式求解,体现化归思想在数列中的具体应用。

an2

n

32

(n 1) 3 3n

32

32

n 1

an 2 2n 1 (3n

) (6n 3) 2 所以选B。

an 12

n 1

小结：构造等比数列，注意形例6：已知函数f(x) (x

an2

n

，当n n 1时，变为

2

。

2),(x 0)，又数列 an 中a1 2，其前n项和为

Sn,(n N)，对所有大于1的自然数n都有Sn f(Sn 1)，求数列 an 的通项公式。

解： f(x) (x

Sn

Sn 1

2),Sn f(Sn 1) (Sn 1

Sn

Sn 1

2

2

2)

2

2,

S1 a1

2

Sn是首项为2，公差为2的等差数列。

2 (n !)2

2n, Sn 2n。

2

2

Sn

2

n 2时，an Sn Sn 1 2n 2(n 1) 4n 2

且当n 1时，a1 2 4 1 2 符合条件

通项公式为an 4n 2

例7：（2006山东高考题）

已知a1 2，点（an,an 1）在函数f(x) x x的图象上，其中n 1,2,3, 求数列 an

2

的通项公式。

解： f(x) x 2x 又 (an,an 1)在函数图象上 an 1 an 2an

2

2

求数列的通项公式是高考重点考查的内容,作为两类特殊数列----等差数列•等比数列可直接根据它们的通项公式求解,但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列,之后再应用各自的通项公式求解,体现化归思想在数列中的具体应用。

2

an 1 1 an 2an 1 (an 1)

2

lg(an 1 1) 2lg(an 1)lg(an 1 1)lg(an 1)

2, lg(a1 1) lg3

lg(an

1) 是首项为lg3公比为2的等比数列

n 1

lgan 1 2

lg3 lg3

n 1

2

n 1

an 1 3an 3

2

n 1

2

1

Sn为等差数列，并且利用通项与和的关系来确定数列的通项公式，

小结：前一个题构造出

后一个题构造 lg an 1 为等比数列,再利用对数性质求解。数列与函数的综合运用是当今高考的重点与热点，因此我们在解决数列问题时应充分利用函数有关知识，以它的概念与性质为纽带，架起函数与数列的桥梁,揭示它们之间内在联系，从而有效地解决数列问题。

n 1n

(2 ) 2，例8：(2007天津高考题)已知数列 an 满足a1 2,an 1 an （n N*）

其中 0，求数列的通项公式

方法指导：将已知条件中的递推关系变形，应用转化成等差数列形式，从而为求 an 的通项公式提供方便， …… 此处隐藏：2531字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……